Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени - конспект - Математика, Рефераты из Математика
petr_j
petr_j13 июня 2013 г.

Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени - конспект - Математика, Рефераты из Математика

PDF (67 KB)
2 страница
564Количество просмотров
Описание
Kazan State Finance and Economics Institute. Лекция конспект по математике. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
20баллов
Количество баллов, необходимое для скачивания
этого документа
Скачать документ
Предварительный просмотр2 страница / 2
Скачать документ
????? ????????????? ????? ??????? ?????????????? ????????? ????????? ???????

Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Валентин Подвысоцкий Уравнение:

X4 + TX2 + PX + Q = 0 (1)

имеет четыре корня X1, X2, X3, X4.

Известно, что:

X1 + X2 + X3 + X4 = 0, (2)

X1X2 + X1X3 + X1X4 + X2X3 + X2X4 + X3X4 = T, (

3)

X1X2X3 + X1X2X4 + X1X3X4 + X2X3X4 = –P, (

4)

X1X2X3X4 = Q. (5)

Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:

X1X2 + X3X4 = T + (X1 + X2)2, (6)

(X1 + X2)(X1X2 – X3X4) = P. (7)

Составляем квадратное уравнение:

Y2 – (X1X2+X3X4)Y + X1X2X3X4 = 0, (

8)

где Y1 = X1X2, Y2 = X3X4.

Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X1 + X2)2 перепишем уравнение (8) в виде:

Y2 – (T + A)Y + Q = 0.

Решая уравнение (8) получаем:

X1X2 = 1/2(T + A2 + ([T + А]2 – 4Q)1/2), (

9)

X3X4 = 1/2(T + A2 – ([T + A]2 – 4Q)1/2). (10)

Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:

X1X2 – X3X4 = ([T + A]2 – 4Q)1/2. (11)

Учитывая, что A1/2 = X1 + X2 перепишем формулу (7) в виде:

X1X2 – X3X4 = Р/А1/2. (12)

Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем

P/A1/2 = ([T + A]2 – 4Q)1/2. (13)

Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:

A3 + 2TA2 + (T2 – 4Q)A – P2 = 0. (14)

Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X1+X2)2 и двух квадратных уравнений:

X2 – (X1 + X2)X + X1X2 = 0, (15)

X2 – (X3 + X4)X + X3X4 = 0. (16)

Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X1 + X2 = – (X3+X4) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:

X2 – A1/2X + 1/2(T+A + ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0, (17)

X2 + A1/2X + 1/2(T+A – ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0. (18)

Полное уравнение четвертой степени X4 + KX3 + TX2 + PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.

Список литературы Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.n-t.org/

комментарии (0)
Здесь пока нет комментариев
Ваш комментарий может быть первым
Скачать документ