Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, разные варианты  - упражнение - Эконометрика (12), Упражнения и задачи из Эконометрика. Современный университет управления (СИУ)
wklev85
wklev8525 марта 2013 г.

Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, разные варианты - упражнение - Эконометрика (12), Упражнения и задачи из Эконометрика. Современный университет управления (СИУ)

PDF (326 KB)
35 страница
593Количество просмотров
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету Эконометрика. Тема Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Лабораторная работа. Разные варианты. Вариант 12.
20 баллов
Количество баллов, необходимое для скачивания
этого документа
Скачать документ
Предварительный просмотр3 страница / 35

Это только предварительный просмотр

3 страница на 35 страницах

Скачать документ

Это только предварительный просмотр

3 страница на 35 страницах

Скачать документ

Это только предварительный просмотр

3 страница на 35 страницах

Скачать документ

Это только предварительный просмотр

3 страница на 35 страницах

Скачать документ
Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений, вариант 12 - контрольная работа - Эконометрика

Федеральное агентство по образованию

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Эконометрика»

тема:

«Зависимость объема выпуска продукции от объема

капиталовложений, вариант 12»

Калуга 2006

2

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (у, млн. руб.) от объема капиталовложений (х, млн. руб.).

№ п/п Объем выпуска

продукции, млн. руб., у

Объема капиталовложений, млн. руб.,

х 1 69 38 2 52 28 3 46 27 4 63 37 5 73 46 6 48 27 7 67 41 8 62 39 9 47 28

10 67 44

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков 2ЕS ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК. 4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с

помощью t-критерия Стьюдента (α = 0,05). 5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость

уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать выводы о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя у при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения у, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии: • гиперболическая • степенной • показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии. 9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние

относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

3

Решение

1. Построим линейную модель регрессии.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

$ xy a b x= + ⋅

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – a и

b .

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии

основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить

такие оценки параметров a и b , при которых сумма квадратов отклонений

фактических значений результативного признака y от теоретических $ xy

минимальна:

$( )2 2 1 1

min i

n n

i ix i i

y y ε = =

− = →∑ ∑ .

Чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные

по каждому из параметров a и b и приравнять их к нулю. Обозначим 2i i

ε∑

через ( ), S a b , тогда:

( ) ( )2, S a b y a b x= − − ⋅∑ .

( )

( )

2 0;

2 0.

S y a b x

a S

x y a b x b

∂ = − − − ⋅ =∂ ∂ = − − − ⋅ = ∂

После несложных преобразований, получим следующую систему

линейных уравнений для оценки параметров a и b :

2

;

.

a n b x y

a x b x x y

 ⋅ + ⋅ = 

⋅ + ⋅ = ⋅

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

4

Решая систему уравнений, найдем искомые оценки параметров a и b .

Можно воспользоваться следующими готовыми формулами, которые

следуют непосредственно из решения системы:

a y b x= − ⋅ , ( ) 2

cov ,

x

x y b

σ = ,

где ( ) ______

cov ,x y y x y x= ⋅ − ⋅ – ковариация признаков x и y , ____

2 2 2 x x xσ = − – дисперсия признака x и

1 x x

n = ∑ ,

1 y y

n = ∑ ,

______ 1 y x y x

n ⋅ = ⋅∑ ,

____ 2 21x x

n = ∑

Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу 1.1 ( iE = у ŷ).

Рассчитаем параметры линейного уравнения парной регрессии

$ xy a b x= + ⋅ . Для этого воспользуемся формулами:

3191,1 0500,49

7000,64

2500,12603000,1309

4000,595000,354000,2173),cov( 222

== −

⋅−= −

⋅−⋅== хх

yхухyx b

хσ ;

5733,125000,353191,14000,59 =⋅−=⋅−= xbуа .

Получили уравнение: xу х ⋅+= ∧

3191,15733,12 .

Т.е. b показывает, что при увеличении объема капиталовложений на

1 млн. руб., объем выпуска продукции в среднем увеличивается на

1,3191 млн. руб.

а = 12,5733, означает, что относительное изменение результата

происходит медленнее, чем изменение фактора.

5

Таблица 1.1

у х yx хх ( хх )2 уу ( уу )2 x2ŷiE iE 2

y

Ei

1 69 38 2622 2,5000 6,2500 9,6000 92,1600 1444 62,6977 6,3023 39,7195 0,0913

2 52 28 1456 -7,5000 56,2500 -7,4000 54,7600 784 49,5070 2,4930 6,2149 0,0479

3 46 27 1242 -8,5000 72,2500 -13,4000 179,5600 729 48,1880 -2,1880 4,7872 0,0476

4 63 37 2331 1,5000 2,2500 3,6000 12,9600 1369 61,3786 1,6214 2,6290 0,0257

5 73 46 3358 10,5000 110,2500 13,6000 184,9600 2116 73,2502 -0,2502 0,0626 0,0034

6 48 27 1296 -8,5000 72,2500 -11,4000 129,9600 729 48,1880 -0,1880 0,0353 0,0039

7 67 41 2747 5,5000 30,2500 7,6000 57,7600 1681 66,6548 0,3452 0,1191 0,0052

8 62 39 2418 3,5000 12,2500 2,6000 6,7600 1521 64,0167 -2,0167 4,0672 0,0325

9 47 28 1316 -7,5000 56,2500 -12,4000 153,7600 784 49,5070 -2,5070 6,2852 0,0533

10 67 44 2948 8,5000 72,2500 7,6000 57,7600 1936 70,6120 -3,6120 13,0468 0,0539

Сумма 594 355 21734 490,5000 930,4000 13093 76,9668 0,3649

Ср. знач. 59,4000 35,5000 2173,4000 1309,3000

Квадрат 3528,3600 1260,2500

6

2. Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов

отклонений переменной y от среднего значения y раскладывается на две

части – «объясненную» и «необъясненную»:

( ) $( ) $( )2 22 x xy y y y y y− = − + −∑ ∑ ∑ , где ( )2y y−∑ – общая сумма квадратов отклонений;

$( )2xy y−∑ – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений);

$( )2xy y−∑ – остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.

Для удобства вычислений составим таблицу 1.2.

Таблица 1.2

у уу ( уу )2 iE iE 2

ŷ - у (ŷ - у )2 1 69 9,6000 92,1600 6,3023 39,7195 3,2977 10,8745 2 52 -7,4000 54,7600 2,4930 6,2149 -9,8930 97,8708 3 46 -13,4000 179,5600 -2,1880 4,7872 -11,2120 125,7096 4 63 3,6000 12,9600 1,6214 2,6290 1,9786 3,9148 5 73 13,6000 184,9600 -0,2502 0,0626 13,8502 191,8267 6 48 -11,4000 129,9600 -0,1880 0,0353 -11,2120 125,7096 7 67 7,6000 57,7600 0,3452 0,1191 7,2548 52,6327 8 62 2,6000 6,7600 -2,0167 4,0672 4,6167 21,3141 9 47 -12,4000 153,7600 -2,5070 6,2852 -9,8930 97,8708

10 67 7,6000 57,7600 -3,6120 13,0468 11,2120 125,7096 Сумма 594 930,4000 76,9668 853,4332 Ср. знач. 59,4000

Из таблицы следует, что ( )2y y−∑ = 930,4000;

$( )2xy y−∑ = 853,4332; $( )2xy y−∑ = 76,9668.

( ) $( ) $( )2 22 x xy y y y y y− = − + −∑ ∑ ∑

7

930,4000 = 583,4332 + 76,9669

930,4000 = 930,4000.

Найдем стандартную ошибку оценки. Для этого составим таблицу 1.3.

Таблица 1.3

№ у ŷ iE iE 2

1 69 62,6977 6,3023 39,7195 2 52 49,5070 2,4930 6,2149 3 46 48,1880 -2,1880 4,7872 4 63 61,3786 1,6214 2,6290 5 73 73,2502 -0,2502 0,0626 6 48 48,1880 -0,1880 0,0353 7 67 66,6548 0,3452 0,1191 8 62 64,0167 -2,0167 4,0672 9 47 49,5070 -2,5070 6,2852

10 67 70,6120 -3,6120 13,0468 Сумма 594 76,9668 Ср. знач. 59,4000

1017,36208,9 1110

9668,76

1

2

== −−

= −−

= ∑ кn

E S iE

1964,3 1017,3

6120,33023,6minmax =+= −

= ES

EE RS )7,3;7,2(∈

Так как 1964,3=RS попадает в интервал )7,3;7,2( , следовательно,

свойство нормальности распределения выполняется, и модель по этому

критерию считается адекватной.

Найдем 2S - дисперсию остатков.

6208,9 1110

9668,76

1

2 2 =

−− =

−− = ∑

kn

Е S i

График остатков будет выглядеть следующим образом (рис. 1).

8

-6,0000

-4,0000

-2,0000

0,0000

2,0000

4,0000

6,0000

8,0000

0 10 20 30 40 50

х

Е - о с та тк и

Рис. 1. График остатков

3. Проверим выполнение предпосылок МНК.

• Строим график зависимости остатков iε от теоретических значений

результативного признака (рис. 2).

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 20 40 60 80Е - о с т а т к и

Рис. 2. Зависимость случайных остатков iε от теоретических значений $ xy .

На графике получена горизонтальная полоса, следовательно, остатки

iε представляют собой случайные величины и МНК оправдан, теоретические

значения $ xy хорошо аппроксимируют фактические значения y .

9

• Вторая предпосылка МНК относительно нулевой средней величины

остатков означает, что $( ) 0xy y− =∑ , следовательно, предпосылка выполняется.

Вместе с тем, несмещенность оценок коэффициентов регрессии,

полученных МНК, зависит от независимости случайных остатков и величин

x , что также исследуется в рамках соблюдения второй предпосылки МНК. С

этой целью наряду с изложенным графиком зависимости остатков iε от

теоретических значений результативного признака $ xy строим график

зависимости случайных остатков iε от факторов, включенных в регрессию

jx (рис. 3).

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 10 20 30 40 50

х

Е -

о с т а т к и

Рис. 3. Зависимость величины остатков от величины фактора jx .

Остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы,

значит, они независимы от значений.

• В соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, чтобы

дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого

значения фактора jx остатки iε имеют одинаковую дисперсию. Если это

10

условие применения МНК не соблюдается, то имеет место

гетероскедастичность.

Наличие или отсутствие гомоскедастичности оценим по тесту

Голдфельда-Квандта.

Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Голдфельда-

Квандта, необходимо выполнить следующие шаги:

a) упорядочить n наблюдений по мере возрастания переменной х.

b) разделить совокупность на две группы (соответственно с малыми и

большими значениями фактора х) и определение по каждой из групп

уравнений регрессий.

c) определение остаточной суммы квадратов для первой регрессии

2 1

1 )( ii

у

ууS

−=∑∧ и второй регрессии 22 2

)( ii у

ууS

−=∑∧ .

d) вычисление отношений ∧

у

у

S

S

2

1 (или ∧

у

у

S

S

1

2 ). В числителе должна быть

большая сумма квадратов.

a) Строим таблицу с упорядоченными значениями (табл. 1.4).

Таблица 1.4

№ х у 3 27 46 6 27 48 2 28 52 9 28 47 4 37 63 1 38 69 8 39 62 7 41 67

10 44 67 5 46 73

Исключаем из таблицы значения 5 и 6 строк.

b) При делении на две группы по 4 значения в каждом получаем

следующие расчетные таблицы (табл. 1.5 с малыми значениями

фактора х, табл. 1.6 с большими значениями фактора х).

11

Таблица 1.5

№ х у yx x2 y2 ŷ у - ŷ (у - ŷ)2 3 27 46 1242 729 2116 47,000 -1,000 1,000 6 27 48 1296 729 2304 47,000 1,000 1,000 2 28 52 1456 784 2704 49,500 2,500 6,250 9 28 47 1316 784 2209 49,500 -2,500 6,250

Сумма 110 193 5310 3026 9333 14,5000 Ср.знач. 27,5000 48,2500 1327,5000 756,5000 2333,2500 Квадрат 756,2500

Рассчитаем параметры линейного уравнения парной регрессии

$ xy a b x= + ⋅ . Для этого воспользуемся формулами:

5000,2 2500,0

6250,0

2500,7565000,756

2500,485000,275000,1327),cov( 222

== −

⋅−= −

⋅−⋅== хх

yхухyx b

хσ ;

5000,205000,275000,22500,48 −=⋅−=⋅−= xbуа .

Получили уравнение: xу х ⋅+−= ∧

5000,25000,20 .

Таблица 1.6

№ х у yx x2 y2 ŷ у - ŷ (у -ŷ)2 8 39 62 2418 1521 3844 62,603 -0,603 0,364 7 41 67 2747 1681 4489 65,259 1,741 3,032

10 44 67 2948 1936 4489 69,241 -2,241 5,024 5 46 73 3358 2116 5329 71,897 1,103 1,218

Сумма 170 269 11471 7254 18151 9,6379 Ср.знач. 42,5000 67,2500 2867,7500 1813,5000 4537,7500 Квадрт 1806,2500

Рассчитаем параметры линейного уравнения парной регрессии

$ xy a b x= + ⋅ . Для этого воспользуемся формулами:

3276,1 2500,7

6250,9

2500,18065000,1813

2500,675000,427500,2867),cov( 222

== −

⋅−= −

⋅−⋅== хх

yхухyx b

хσ ;

8276,105000,423276,12500,67 =⋅−=⋅−= xbуа .

Получили уравнение: xу х ⋅+= ∧

3276,18276,10 .

c) Определим остаточную сумму квадратов для первой регрессии

5000,14)( 21 1

=−= ∧

∑∧ ii у

ууS .

12

Определим остаточную сумму квадратов для второй регрессии

6379,9)( 22 2

=−= ∧

∑∧ ii у

ууS .

d) Вычислим отношение 5045,1 6379,9

5000,14

2

1 == ∧

у

у

S

S .

Табличное значение F-распределения по таблице значений F-критерия

Фишера при уровне значимости α = 0,05 равно 10,13.

Так как .. 5045,1 крнабл FF <= , следовательно, гомоскедастичности имеет

место и предпосылка выполняется.

• При построении регрессионных моделей чрезвычайно важно

соблюдение четвертой предпосылки МНК – отсутствие автокорреляции

остатков, т.е. значения остатков iε , распределены независимо друг от друга.

Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками

текущих и предыдущих (последующих) наблюдений.

Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях проверим с

помощью критерия Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=0,88 и

d2=1,32). Числовое значение коэффициента равно

∑ ∑ −−=

2

2 1 )(

i

ii

E

EE dw

Составим для удобства расчетную таблицу 1.7.

Таблица 1.7

№ Е Еi - Еi-1 (Еi - Еi-1) 2 Е2

1 6,3023 - - 39,7195 2 2,4930 -3,8094 14,5114 6,2149 3 -2,1880 -4,6809 21,9112 4,7872 4 1,6214 3,8094 14,5114 2,6290 5 -0,2502 -1,8716 3,5027 0,0626 6 -0,1880 0,0622 0,0039 0,0353 7 0,3452 0,5331 0,2842 0,1191 8 -2,0167 -2,3619 5,5785 4,0672 9 -2,5070 -0,4903 0,2404 6,2852

10 -3,6120 -1,1050 1,2210 13,0468 Сумма 0,0000 -9,9144 61,7646 76,9668

13

Рассчитаем значение коэффициента

8025,0 9668,76

7646,61)( 2

2 1 ==

− =

∑ ∑ −

i

ii

E

EE dw

Так как 1ddw < , следовательно, остатки содержат автокорреляцию.

4. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с

помощью t -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного

интервала каждого из показателей.

Табличное значение t -критерия для числа степеней свободы

82102 =−=−= ndf и 0, 05α = составит 3060,2. =таблt .

Определим случайные ошибки am , bm , xyrm по формулам:

x Ea n

x Sm

σ⋅ ⋅= ∑

2

,

x

E b

n

S m

σ⋅ =

,

2

1 2, , −

− =

n

r m хуr xу ,

где 1017,3=ES ,

0036,70500,45 10

5000,450)( 2

=== −

= ∑ n

ххi хσ ,

6457,90400,93 10

4000,930)( 2

=== −

= ∑ n

ххi yσ ,

9577,0 5545,67

7000,64

6457,90036,7

5000,354000,590000,2173 , ==⋅

⋅−= ⋅

⋅−= yx

xy

xyyx r

σσ .

Рассчитаем предельные ошибки

0676,56338,11017,3 0357,70

4246,114 1017,3

0036,710

13093 1017,3

2

=⋅=⋅= ⋅

⋅= ⋅

⋅= ∑ x

Ea n

x Sm

σ ,

14

1401,0 1472,22

1017,3

0036,71623,3

1017,3

0036,710

1017,3 == ⋅

= ⋅⋅

= x

E b

n

S m

σ ,

1017,00103,0 8

0827,0

210

9173,01

2

1 2, ,

=== −

−= −

− =

n

r m хуr xу .

Тогда

4811,2 0676,5

5733,12 === a

a m

a t ,

Так как .таблa tt > , следовательно, Н0 отклоняется и принимается

гипотеза, параметр а статистически значим.

4185,9 1401,0

3191,1 === b

b m

b t ,

Так как .таблb tt > , следовательно, Н0 отклоняется и принимается

гипотеза, параметр b статистически значим.

Так как ., таблr tt xy > , следовательно, Н0 отклоняется и принимается

гипотеза, параметр xyr , статистически значим.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и

b . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

6860,110676,53060,2. =⋅=⋅=∆ атабла mt

3230,01401,03060,2. =⋅=⋅=∆ bтаблb mt Рассчитаем доверительные интервалы

aaaа a ∆+≤≤∆− γ

6860,115733,126860,115733,12 +≤≤− aγ

2592,248873,0 ≤≤ aγ

bbbb b ∆+≤≤∆− γ

3230,03191,13230,03191,1 +≤≤− bγ

6420,19961,0 ≤≤ bγ

4184,9 1017,0

9577,0

,

,

, === xy

xy

r

xy r m

r t

15

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит

к выводу о том, что с вероятностью 95% параметры a и b , находясь в

указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются

статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

5. Тесноту линейной связи оценим коэффициентом корреляции.

9577,0 5545,67

7000,64

6457,90036,7

5000,354000,590000,2173 , ==⋅

⋅−= ⋅

⋅−= yx

xy

xyyx r

σσ

Коэффициент линейной корреляции, означает, что связь между

объемом выпуска продукции (у) и объемом капиталовложений (х) прямая

достаточно сильная.

9173,09577,0 22, 2 === хуrR

Уравнение регрессии объясняет 91,73% дисперсии результативного

признака, а на долю других факторов приходится 8,27% дисперсии.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации.

6486,34900,361,01003649,0 10

1 100

1 . =⋅=⋅⋅=⋅⋅= ∑

i

i отн

y

E

n А

Это означает, что на 3,6486% отклоняется в среднем рассчитанные

значения от фактических значений результатов.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью

F -критерия Фишера. Фактическое значение F -критерия:

7067,888 0423,0

9577,0 )210(

9577,01

9577,0 )2(

1 2,

2 ,

. =⋅=−⋅− =−⋅

− = n

r

r F

ху

ху

факт .

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости

и степенях свободы 1 1k = и 821022 =−=−= nk составляет 32,5. =таблF . Так

как .. таблфакт FF > , то уравнение регрессии с вероятностью 95% в целом

статистически значимо.

6. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для

прогноза. Если прогнозное значение объема капиталовложений составит:

16

8000,3680,04680,0 =⋅=⋅= хх р млн. руб., тогда прогнозное значение заработной

платы составит: 1148,618000,363191,15733,12 =⋅+=ру млн. руб.

Ошибка прогноза составит:

2583,30505,11017,31034,11017,30034,01,11017,3

5000,490

6900,1 1,11017,3

5000,490

)5000,358000,36(

10

1 11017,3

)(

)(1 1

2

2

2

=⋅=⋅=+⋅=

=+⋅=−⋅+⋅= −

− ⋅+= ∑

хх

хх

n Sm

i

р

E ру

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет

превышена, составит:

0587,62583,38595,1. =⋅=⋅=∆ ∧∧ ру

табл ру

mt

Доверительный интервал прогноза:

ррyрр уyуy р ∆+≤≤∆− γ

0587,61148,610587,61148,61 +≤≤− aγ

1735,670561,55 ≤≤ aγ

Выполненный прогноз объема выпуска продукции является надежным

на 99% и находится в пределах от 55,0561 млн. руб. до 67,1735 млн. руб.

7. Представить графически: фактические и модельные значения у, точки

прогноза (рис. 4).

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Объем капиталовложений, млн. руб., х

О б ъ е м

в ы п у с к а п р о д у к ц и и , м л н . р у б ., у

Рис. 4. Фактические и модельные значения у, точки прогноза

17

8. Построим гиперболическую модель регрессии и оценим ее.

Уравнение гиперболической модели имеет вид:

х

b ау +=ˆ

Произведем линеаризацию модели путем замены переменной: х

X 1=

Тогда уравнение примет вид: bХау +=ˆ — уравнение линейной регрессии.

Значение параметров а и b определим по следующим формулам:

22 XX

yXXy b

×−=

Xbya ⋅−=

Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу 1.8

Найдем параметры a и b.

00771,1569 00004,0

05553,0

00086,000090,0

40000,5902933,068693,1 22

−=−= −

⋅−= −

⋅−= XX

yXXy b

42576,10502933,000771,156940000,59 =⋅+=⋅−= Xbya

Уравнение регрессии будет иметь вид: ŷ = 105,42576 – 1569,00771Х.

Перейдем к исходным переменным х и у, получим уравнение

гиперболической модели:

х

00771,1569 42576,105y −=

Определим индекс корреляции по формуле:

( ) 96772,040000,930 09780,59

11 2

2

=−= −

−= ∑ ∑

уу

Еi xyρ

Связь между объемом выпуска продукции (у) и объемом

капиталовложений (х) можно считать достаточно сильной.

18

Таблица 1.8

№ у х Х уХ Х2 ŷiE iE 2

y

Ei уу ( уу )2

1 69 38 0,02632 1,81579 0,00069 64,13609 4,86391 23,65765 0,07049 9,60000 92,16000

2 52 28 0,03571 1,85714 0,00128 49,38977 2,61023 6,81328 0,05020 -7,40000 54,76000

3 46 27 0,03704 1,70370 0,00137 47,31437 -1,31437 1,72756 0,02857 -13,40000 179,56000

4 63 37 0,02703 1,70270 0,00073 63,02015 -0,02015 0,00041 0,00032 3,60000 12,96000

5 73 46 0,02174 1,58696 0,00047 71,31690 1,68310 2,83282 0,02306 13,60000 184,96000

6 48 27 0,03704 1,77778 0,00137 47,31437 0,68563 0,47009 0,01428 -11,40000 129,96000

7 67 41 0,02439 1,63415 0,00059 67,15728 -0,15728 0,02474 0,00235 7,60000 57,76000

8 62 39 0,02564 1,58974 0,00066 65,19480 -3,19480 10,20673 0,05153 2,60000 6,76000

9 47 28 0,03571 1,67857 0,00128 49,38977 -2,38977 5,71102 0,05085 -12,40000 153,76000

10 67 44 0,02273 1,52273 0,00052 69,76650 -2,76650 7,65351 0,04129 7,60000 57,76000

Сумма 594 355 0,29334 16,86926 0,00896 59,09780 0,33294 930,40000

Ср. знач. 59,40000 35,50000 0,02933 1,68693 0,00090

Квадрат 0,00086

19

Определим коэффициент детерминации по формуле:

93648,096772,0 222 === xyR ρ

Уравнение регрессии объясняет 93,648% дисперсии результативного

признака, а на долю других факторов приходится 6,352% дисперсии.

Проверим гипотезу о статистической значимости, построенной модели.

Для проверки гипотезы воспользуемся F-критерием Фишера.

Определим F-критерием по формуле:

94715,117)210( 93648,01

93648,0 )2(

1 2

2

=−⋅ −

=−⋅ −

= n R

R F

xy

xy

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости

и степенях свободы 1 1k = и 821022 =−=−= nk составляет 32,5. =таблF . Так

как .. таблфакт FF > , то уравнение регрессии с вероятностью 95% в целом

статистически значимо.

Качество модели определим средней ошибкой аппроксимации.

32935,329400,331,010033294,0 10

1 100

1 . =⋅=⋅⋅=⋅⋅= ∑

i

i отн

y

E

n А

Это означает, что на 3,32935% отклоняется в среднем рассчитанные

значения от фактических значений результатов.

Построим степенную модель регрессии и оценим ее.

Уравнение степенной модели:

xbау ⋅=ˆ Для построения этой модели необходимо провести линеаризацию

переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей

уравнения: xbay lglglg += )

Обозначим:

xX

aA

yY

lg

lg

,lg

= = = )

20

Тогда уравнение примет вид: XbAY ⋅+= — уравнение линейной регрессии.

Значение параметров а и b определим по следующим формулам:

22 XX

YXXY b

⋅−=

XbYA ⋅−=

Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу 1.9.

Найдем параметры a и b.

79970,0 00769,0

00615,0

37625,238394,2

54151,176782,173125,2 22

== −

⋅−= −

⋅−= XX

YXXY b

53508,054151,179970,076782,1 =⋅+=⋅−= XBYA

Получим уравнение регрессии: ŷ = 0,53508 + 0,79970х.

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование

данного уравнения:

ŷ = 100,53508 · x0,79970

100,53508 = 3,42829. Получим уравнение степенной модели регрессии:

ŷ = 3,42829 · x0,79970

Определим индекс корреляции:

( ) 95928,040000,930 23491,74

11 2

2

=−= −

−= ∑ ∑

уу

Еi xyρ

Связь между объемом выпуска продукции (у) и объемом

капиталовложений (х) можно считать достаточно сильной.

Определим коэффициент детерминации по формуле:

92021,095928,0 222 === xyR ρ

Уравнение регрессии объясняет 92,021% дисперсии результативного

признака, а на долю других факторов приходится 7,979% дисперсии.

21

Таблица 1.9

№ у Y x X YX X2 ŷiE iE 2

y

Ei уу ( уу )2

1 69 1,83885 38 1,57978 2,90498 2,49572 62,86713 6,13287 37,61213 0,08888 9,60000 92,16000

2 52 1,71600 28 1,44716 2,48333 2,09427 49,24515 2,75485 7,58918 0,05298 -7,40000 54,76000

3 46 1,66276 27 1,43136 2,38001 2,04880 47,83358 -1,83358 3,36201 0,03986 -13,40000 179,56000

4 63 1,79934 37 1,56820 2,82173 2,45926 61,54059 1,45941 2,12988 0,02317 3,60000 12,96000

5 73 1,86332 46 1,66276 3,09825 2,76476 73,24496 -0,24496 0,06001 0,00336 13,60000 184,96000

6 48 1,68124 27 1,43136 2,40647 2,04880 47,83358 0,16642 0,02770 0,00347 -11,40000 129,96000

7 67 1,82607 41 1,61278 2,94506 2,60107 66,80574 0,19426 0,03774 0,00290 7,60000 57,76000

8 62 1,79239 39 1,59106 2,85181 2,53149 64,18669 -2,18669 4,78162 0,03527 2,60000 6,76000

9 47 1,67210 28 1,44716 2,41979 2,09427 49,24515 -2,24515 5,04071 0,04777 -12,40000 153,76000

10 67 1,82607 44 1,64345 3,00107 2,70094 70,68699 -3,68699 13,59393 0,05503 7,60000 57,76000

Сумма 594,00000 17,67815 355,00000 15,41509 27,31251 23,83937 74,23491 0,35268 930,40000

Ср. знач. 59,40000 1,76782 35,50000 1,54151 2,73125 2,38394

Квадрат 2,37625

22

Проверим гипотезу о статистической значимости, построенной модели.

Для проверки гипотезы воспользуемся F-критерием Фишера.

Определим F-критерием по формуле:

26549,92)210( 92021,01

92021,0 )2(

1 2

2

=−⋅ −

=−⋅ −

= n R

R F

xy

xy

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости

и степенях свободы 1 1k = и 821022 =−=−= nk составляет 32,5. =таблF . Так

как .. таблфакт FF > , то уравнение регрессии с вероятностью 95% в целом

статистически значимо.

Качество модели определим средней ошибкой аппроксимации.

52676,326800,351,010035268,0 10

1 100

1 . =⋅=⋅⋅=⋅⋅= ∑

i

i отн

y

E

n А

Это означает, что на 3,52676% отклоняется в среднем рассчитанные

значения от фактических значений результатов.

Построим показательную модель регрессии и оценим ее.

Уравнение показательной модели:

xbау ⋅=ˆ Для построения этой модели необходимо провести линеаризацию

переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей

уравнения: bxay lglglg += )

Обозначим:

bB

aA

yY

lg

lg

,lg

= = = )

Тогда уравнение примет вид: xBAY ⋅+= — уравнение линейной регрессии.

Значение параметров а и b определим по следующим формулам:

23

22 xx

YxхY B

⋅−=

xBYA ×−=

Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу 1.10.

Найдем параметры a и b.

00992,0 05000,49

48647,0

25000,126030000,1309

76782,150000,3524392,63 22

== −

⋅−= −

⋅−= xx

YxxY B

41573,150000,3500992,076782,1 =⋅+=⋅−= xBYA

Получим уравнение регрессии: ŷ = 1,41573 + 0,00992х.

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование

данного уравнения:

ŷ = 101,41573 · (100,00992)х

Получим уравнение показательной модели регрессии:

ŷ = 26,04551 · 1,02310х

Определим индекс корреляции:

( ) 94836,040000,930 60698,93

11 2

2

=−= −

−= ∑ ∑

уу

Еi xyρ

Связь между объемом выпуска продукции (у) и объемом

капиталовложений (х) можно считать достаточно сильной.

Определим коэффициент детерминации по формуле:

89939,094836,0 222 === xyR ρ

Уравнение регрессии объясняет 89,939% дисперсии результативного

признака, а на долю других факторов приходится 10,061% дисперсии.

Проверим гипотезу о статистической значимости, построенной модели.

Для проверки гипотезы воспользуемся F-критерием Фишера.

Определим F-критерием по формуле:

51544,71)210( 89939,01

89939,0 )2(

1 2

2

=−⋅ −

=−⋅ −

= n R

R F

xy

xy

24

Таблица 1.10

№ у Y x Yx x2 ŷiE iE 2

y

Ei уу ( уу )2

1 69 1,83885 38 69,87627 1444 62,03117 6,96883 48,56462 0,10100 9,60000 92,16000

2 52 1,71600 28 48,04809 784 49,36643 2,63357 6,93567 0,05065 -7,40000 54,76000

3 46 1,66276 27 44,89446 729 48,25185 -2,25185 5,07081 0,04895 -13,40000 179,56000

4 63 1,79934 37 66,57560 1369 60,63064 2,36936 5,61388 0,03761 3,60000 12,96000

5 73 1,86332 46 85,71285 2116 74,46506 -1,46506 2,14639 0,02007 13,60000 184,96000

6 48 1,68124 27 45,39351 729 48,25185 -0,25185 0,06343 0,00525 -11,40000 129,96000

7 67 1,82607 41 74,86907 1681 66,42987 0,57013 0,32505 0,00851 7,60000 57,76000

8 62 1,79239 39 69,90328 1521 63,46405 -1,46405 2,14344 0,02361 2,60000 6,76000

9 47 1,67210 28 46,81874 784 49,36643 -2,36643 5,60001 0,05035 -12,40000 153,76000

10 67 1,82607 44 80,34729 1936 71,14049 -4,14049 17,14369 0,06180 7,60000 57,76000

Сумма 594 17,67815 355 632,43916 13093 93,60698 0,40779 930,40000

Ср. знач. 59,40000 1,76782 35,50000 63,24392 1309,30000

Квадрат 1260,25000

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости

и степенях свободы 1 1k = и 821022 =−=−= nk составляет 32,5. =таблF . Так

как .. таблфакт FF > , то уравнение регрессии с вероятностью 95% в целом

статистически значимо.

Качество модели определим средней ошибкой аппроксимации.

07792,477900,401,010040779,0 10

1 100

1 . =⋅=⋅⋅=⋅⋅= ∑

i

i отн

y

E

n А

Это означает, что на 4,07792% отклоняется в среднем рассчитанные

значения от фактических значений результатов.

Приведем графики построенных уравнений регрессий (рис. 5).

0

10

20

30

40

50

60

70

80

38 28 27 37 46 27 41 39 28 44

Объем капиталовложений, млн. руб.

В ы п у с к п р о д у к ц и и , м л н . р у б .

факт линейная степенная показательная гиперболическая

Рис. 5. Графики построенных уравнений регрессий

комментарии (0)

Здесь пока нет комментариев

Ваш комментарий может быть первым

Это только предварительный просмотр

3 страница на 35 страницах

Скачать документ