Дополнительные главы математической физики - конспекты - Математическая физика (3), Конспекты лекций из Математическая физика. Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (МГУ имени М. В. Ломоносова)
Viktor_86
Viktor_868 марта 2013 г.

Дополнительные главы математической физики - конспекты - Математическая физика (3), Конспекты лекций из Математическая физика. Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (МГУ имени М. В. Ломоносова)

PDF (1 MB)
30 страница
561Количество просмотров
Описание
Конспект лекций по предмету математическая физика. Часть 3. Пространства. Бонаховы пространства. Решение задач.
20 баллов
Количество баллов, необходимое для скачивания
этого документа
Скачать документ
Предварительный просмотр3 страница / 30

Это только предварительный просмотр

3 страница на 30 страницах

Скачать документ

Это только предварительный просмотр

3 страница на 30 страницах

Скачать документ

Это только предварительный просмотр

3 страница на 30 страницах

Скачать документ

Это только предварительный просмотр

3 страница на 30 страницах

Скачать документ

3.1. Áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà C(Ω), C0(Ω), CK(Ω) 31

Îïðåäåëåíèå 3.5. Áàíàõîâûì íàçûâàåòñÿ ïîëíîå ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàí- ñòâî.

Îïðåäåëåíèå 3.6. x ∈ X íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà M , åñëè

∃ {xn} ∈ M, xn 6= x : xn −−−→ n→∞

x.

Îïðåäåëåíèå 3.7. Ìíîæåñòâî M çàìêíóòî â X, åñëè M ñîäåðæèò âñå ñâîè ïðå- äåëüíûå òî÷êè.

Îïðåäåëåíèå 3.8. Çàìûêàíèåì ìíîæåñòâà M (îáîçíà÷åíèå  M) íàçûâàåòñÿ îáú- åäèíåíèå ìíîæåñòâà M è âñåõ åãî ïðåäåëüíûõ òî÷åê.

Îïðåäåëåíèå 3.9. Ìíîæåñòâî M âñþäó ïëîòíî â X, åñëè M = X.

Îïðåäåëåíèå 3.10. Ïðîñòðàíñòâî X íàçûâàåòñÿ ñåïàðàáåëüíûì, åñëè â íåì ñóùå- ñòâóåò ñ÷åòíîå, âñþäó ïëîòíîå ïîäìíîæåñòâî.

Îïðåäåëåíèå 3.11. Îáëàñòü - ýòî îòêðûòîå ñâÿçíîå ìíîæåñòâî.

Ïóñòü Ω Rm  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü. Òàê êàê Ω  êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî, òî, ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ â Ω ôóíêöèÿ äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñè- ìàëüíîãî è ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ.

×åðåç C(Ω) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ â Ω ôóíêöèé ñ ìàêñèìóì-íîðìîé

‖f‖ = max x∈ Ω̄

| f(x)|.

Î÷åâèäíî, ÷òî àêñèîìû íîðìû âûïîëíÿþòñÿ. Ñõîäèìîñòü ïî íîðìå C(Ω)  ýòî ðàâíîìåðíàÿ ïî x ∈ Ω ñõîäèìîñòü ôóíêöèé.

Äåéñòâèòåëüíî, ‖fn − f‖C(Ω) −−−→

n→∞ 0 max

x∈|fn(x)− f(x)| → 0

Ïðîñòðàíñòâî C(Ω)  áàíàõîâî. Ïîëíîòà C(Ω) äîêàçûâàåòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà C[a, b].

C(Ω)  ñåïàðàáåëüíîå ïðîñòðàíñòâî. Ñ÷åòíîå âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî â íåì îá- ðàçóþò ìíîãî÷ëåíû ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè PQ(Ω). Äåéñòâèòåëüíî, ëþáîé ìíîãî÷ëåí ìîæíî ñêîëü óãîäíî òî÷íî ïðèáëèçèòü ìíîãî÷ëåíàìè ñ ðàöèîíàëüíûìè êî- ýôôèöèåíòàìè. Ïîýòîìó PQ(Ω) âñþäó ïëîòíî âî ìíîæåñòâå âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P (Ω):

PQ(Ω) ⊂→P (Ω)

Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, ëþáóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ ìîæíî ðàâíîìåðíî ïðè- áëèçèòü ìíîãî÷ëåíàìè, ïîýòîìó

P (Ω)⊂→C(Ω).

docsity.com

3.1. Áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà C(Ω), C0(Ω), CK(Ω) 32

Ñëåäóþùèé ïðèìåð áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà  ýòî ïîäïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ â Ω ôóíêöèé, îáðàùàþùèõñÿ â íîëü íà ãðàíèöå îáëàñòè Ω.

C0(Ω) = {f | f ∈ C(Ω), f |∂Ω= 0}.

Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ïîäïðîñòðàíñòâà.

Îïðåäåëåíèå 3.12. Ìíîæåñòâî M ⊂ X íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà X, åñëè

1) M çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî ëèíåéíûõ îïåðàöèé;

2) M çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà.

Çàìêíóòîñòü C0(Ω) â C(Ω) âûòåêàåò èç ñëåäóþùåãî î÷åâèäíîãî óòâåðæäåíèÿ.

Óòâåðæäåíèå 3.1. Äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn ∈ C(Ω), òàêîé ÷òî

fn |∂Ω= 0

è fn → f â C(Ω),

ãäå f  íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

f |∂Ω= 0.

Ïóñòü α = (α1, . . . , αm)

 ìóëüòèèíäåêñ. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ

|α| = m

i=1

αi, D αf =

∂|α|f ∂xα11 ∂x

α2 2 . . . ∂x

αm m

.

Îïðåäåëèì ïðîñòðàíñòâî k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ â Ω ôóíêöèé Ck(Ω). Ýòî ïðîñòðàíñòâî ñîñòîèò èç ìíîæåñòâà íåïðåðûâíûõ â Ω ôóíêöèé f(x), äëÿ êî- òîðûõ ñóùåñòâóþò è íåïðåðûâíû âñå ïðîèçâîäíûå Dαf(x) ïðè |α| 6 k è íîðìà çàäàåòñÿ ïî ïðàâèëó:

‖f‖ = ∑

|α|6k max x∈

| Dαf(x) | .

Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì íîðìû â ïðîñòðàíñòâå C(Ω), ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:

‖f‖Ck(Ω) = ∑

|α|6k ‖Dαf(x)‖C(Ω).

docsity.com

3.2. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà C(Ω), C∞(Ω) 33

Ñõîäèìîñòü fn → f â Ck(Ω) ðàâíîñèëüíà ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèè è âñåõ åå ïðîèçâîäíûõ äî ïîðÿäêà k âêëþ÷èòåëüíî, òàê êàê

‖fn − f‖Ck(Ω) = ∑

|α|6k ‖Dαfn(x)−Dαf(x)‖C(Ω) 0 ïðè n →∞

ðàâíîñèëüíî ‖fn − f‖C(Ω) 0 è ‖Dαfn(x)−Dαf(x)‖C(Ω) 0.

Ïðîñòðàíñòâî Ck(Ω)  áàíàõîâî è ñåïàðàáåëüíîå.

Ïðèìåð 3.1. Ïóñòü Ω = (a, b), k = 1. Â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé C1[a, b] çàäàäèì íîðìó ïî ïðàâèëó:

‖f‖C1[a, b] = ‖f‖C[a, b] + ‖f ′‖C[a, b].

Óòâåðæäåíèå 3.2. Ck(Ω) íå çàìêíóòî â C(Ω).

Äîêàçàòåëüñòâî. Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü Ck(Ω) çàìêíóòî â C(Ω). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn ∈ Ck(Ω) èç òîãî, ÷òî

fn −−−→ n→∞

f â C(Ω)

ñëåäóåò, ÷òî f ∈ Ck(Ω). Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

f(x) = |x1| ∈ C(Ω). Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà åå ìîæíî ðàâíîìåðíî ïðèáëèçèòü ìíîãî÷ëåíàìè, íî îíà íå ïðèíàäëåæèò C1(Ω)  ïðîòèâîðå÷èå.

Èç äîêàçàííîãî óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî Ck(Ω) íå ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì C(Ω).

3.2 Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà C(Ω), C∞(Ω)  ýòîì ïàðàãðàôå ðàññìàòðèâàþòñÿ ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà.

Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ïðèìåð.

Ïðèìåð 3.2. S - ïðîñòðàíñòâî âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé

x = (x1, x2, . . .), y = (y1, y2, . . .)

ñ ìåòðèêîé

ρ(x, y) =

n=1

1

2n | xn − yn |

1+ | xn − yn | . (3.1)

docsity.com

3.2. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà C(Ω), C∞(Ω) 34

Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

x(k) → x â S ðàâíîñèëüíà ïîêîîðäèíàòíîé ñõîäèìîñòè

∀n x(k)n −−−→ k→∞

xn.

Ïðîñòðàíñòâî S ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì, íî â íåì íåëüçÿ ââåñòè íîðìó, ñîãëàñîâàííóþ ñ ìåòðèêîé (3.1). Åñëè áû òàêàÿ íîðìà ñóùåñòâîâàëà, òî âûïîëíÿëîñü áû ðàâåíñòâî:

‖x‖ = ρ(x, 0). Íî òàê êàê

ρ(αx, 0) 6= |α|ρ(x, 0), òî îäíà èç àêñèîì íîðìû íå âûïîëíÿåòñÿ.

Îïðåäåëåíèå 3.13. Äâå íîðìû ‖ ·‖1 è ‖ ·‖2 â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå X ñîãëàñîâàíû, åñëè ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïî êàæäîé èç ýòèõ íîðì, è ñõîäÿùàÿñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëó f ïî îäíîé èç ýòèõ íîðì

‖fn − f‖1 −−−→ n→∞

0,

ñõîäèòñÿ ê òîìó æå ïðåäåëó ïî äðóãîé íîðìå:

‖fn − f‖2 −−−→ n→∞

0.

Îïðåäåëåíèå 3.14. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî X íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííûì, åñëè â íåì çàäàíà ñ÷åòíàÿ ñèñòåìà ñîãëàñîâàííûõ äðóã ñ äðóãîì íîðì ‖ · ‖n, n = 1,∞.

 ëþáîì ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ââåñòè ìåòðèêó ïî ïðàâèëó:

ρ(f, g) =

k=1

1

2k ‖f − g‖k

1 + ‖f − g‖k . (3.2)

Çàìå÷àíèå 3.1. Âìåñòî íîðì â (3.2) ìîæíî çàäàâàòü ïîëóíîðìû. Ïîëóíîðìà îòëè- ÷àåòñÿ îò íîðìû òîëüêî òåì, ÷òî èç ðàâåíñòâà ‖f‖ = 0 íå ñëåäóåò f = 0.

×åðåç C(Ω) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ â îáëàñòè Ω ôóíêöèé. Ïðåäïîëàãà- åòñÿ, ÷òî Ω ìîæåò áûòü è íå îãðàíè÷åííîé îáëàñòüþ. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëü- íîñòü âëîæåííûõ äðóã â äðóãà îãðàíè÷åííûõ è çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ Kn: Kn ⊂ Kn+1 òàêèõ, ÷òî

Ω = ∞∪

n=1 Kn.

Ñåìåéñòâî ïîëóíîðì îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå

‖f‖n = max x∈Kn

|f(x)|.

Òîãäà ìåòðèêà ââîäèòñÿ êàê ðàâåíñòâå (3.2). Î÷åâèäíî, ÷òî ñõîäèìîñòü â C(Ω)  ýòî ðàâíîìåðíàÿ íà êàæäîì êîìïàêòíîì ìíî-

æåñòâå Kn ñõîäèìîñòü.

docsity.com

3.3. Ëèíåéíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî C∞0 (RM) 35

Óòâåðæäåíèå 3.3. Ïðîñòðàíñòâî C(Ω) ïîëíî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fi}∞i=1  ôóíäàìåíòàëüíà, òî åñòü

‖fi − fj‖n −−−−→ i, j→∞

0,∀ n ∈ N.

Òàê êàê ïðîñòðàíñòâî C(Kn)  ïîëíî, òî ñóùåñòâóåò f ∈ C(Kn), òàêàÿ ÷òî

‖fi − f‖n −−−→ i→∞

0.

Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò f ∈ C(Ω), ê êîòîðîé ñõîäèòñÿ fi ïî ìåòðèêå ρ.

Ïðèâåäåì åùå îäèí ïðèìåð ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïóñòü C∞(Ω)  ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ â Ω ôóíêöèé. Îïðåäåëèì ñåìåéñòâî ïîëó- íîðì

‖f‖n = max x∈|α|6n

|Dαf(x)|

Ìåòðèêó ââåäåì ïî ïðàâèëó (3.2).

Óòâåðæäåíèå 3.4. C∞(Ω)  ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.

3.3 Ëèíåéíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî C∞0 (Rm) ×åðåç C∞0 (Rm) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé, ðàâíûõ íóëþ âíå íåêîòîðîãî êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà.

Îïðåäåëåíèå 3.15. Ôèíèòíîé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ íóëþ âñþäó, êðîìå êîì- ïàêòíîãî ìíîæåñòâà.

Îïðåäåëåíèå 3.16. Íîñèòåëåì ôóíêöèè ϕ íàçûâàåòñÿ

supp ϕ def = {x | ϕ(x) 6= 0}.

Òàêèì îáðàçîì, C∞0 (Rm)  ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì.

Îïðåäåëèì ñõîäèìîñòü íà ýòîì ìíîæåñòâå.

Îïðåäåëåíèå 3.17. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

ϕn −−−→ n→∞

ϕ â ïðîñòðàíñòâå C∞0 (Rm),

åñëè:

1) Íîñèòåëè ôóíêöèé ϕn íå óáåãàþò íà áåñêîíå÷íîñòü, òî åñòü ñóùåñòâóåò êîì- ïàêòíîå ìíîæåñòâî K òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ n

supp ϕn ⊂ K;

docsity.com

3.3. Ëèíåéíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî C∞0 (RM) 36

2) Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé ϕn(x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ϕ(x) íà ìíîæåñòâå K, è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîèçâîäíûõ Dαϕn(x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ñîîòâåò- ñòâóþùèì ïðîèçâîäíûì ôóíêöèè ϕ(x):

Dαϕn(x) ⇒ n→∞

Dαϕ(x) ∀α : |α| > 0 ∀x ∈ K.

Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî â C∞0 (Rm) íåëüçÿ ââåñòè ìåòðèêó, ñîãëàñîâàííóþ ñî ñõîäèìî- ñòüþ, îïðåäåëåííîé âûøå. Ïðîñòðàíñòâî C∞0 (Rm) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì òîïîëîãè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì.

Ïðèìåð 3.3. Ïóñòü ϕ ∈ C∞0 (Rm). Äëÿ êàêîãî èç ñïîñîáîâ çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϕn ñõîäèòñÿ â C∞0 ?

1)ϕn(x) = 1

n ϕ(x);

2)ϕn(x) = ϕ(nx);

3)ϕn(x) = ϕ (x

n

) .

Ïåðâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

ϕn(x) = 1

n ϕ(x)

ñõîäèòñÿ ê íóëþ â C∞0 (Rm). Äåéñòâèòåëüíî, íîñèòåëè ϕn(x) ñîâïàäàþò ñ íîñèòåëåì ôóíêöèè ϕ(x). À òàê êàê äëÿ ëþáîãî α ïðîèçâîäíûå Dαϕn(x) ìàæîðèðóþòñÿ ýëåìåí- òàìè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñòðåìÿùåéñÿ ê íóëþ

|Dαϕn(x)| 6 Mα n

,

òî âòîðîå óñëîâèå â îïðåäåëåíèè ñõîäèìîñòè òàêæå âûïîëíÿåòñÿ. Âòîðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

ϕn(x) = ϕ(nx)

íå ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå C∞0 (Rm), òàê êàê äëÿ íåå íå âûïîëíÿåòñÿ âòîðîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè. Ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîÿâëÿåòñÿ ðàñòóùèé ìíîæèòåëü.

Äëÿ òðåòüåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

ϕn(x) = ϕ (x

n

)

íå âûïîëíÿåòñÿ ïåðâîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè. Åñëè x n ∈ K, òî x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó,

êîòîðîå ñ ðîñòîì n ðàñøèðÿåòñÿ.

docsity.com

3.3. Ëèíåéíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî C∞0 (RM) 37

Ïðèìåð 3.4. Ïðèìåðîì ôóíêöèè èç ϕ ∈ C∞0 (Rm) ÿâëÿåòñÿ "øàïî÷êà".

ωh(|x|) =   

Che − h2

h2−|x|2 , | x |< h; 0, | x |> h.

Íîñèòåëåì ôóíêöèè ωh ÿâëÿåòñÿ øàð ðàäèóñà h ñ öåíòðîì â íóëå: supp ωh(|x|) = Sh(0).

Êîíñòàíòà Ch ïîäáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû èíòåãðàë îò ôóíêöèè ωh(|x|) áûë ðàâåí åäè- íèöå: ∫

Rm

ωh(|x|)dx = 1.

 îäíîìåðíîì ñëó÷àå ãðàôèê ôóíêöèè ωh(|x|) âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.

6

- x

y

O h−h 2h−2h

Îïðåäåëåíèå 3.18. Îòîáðàæåíèå F : X → R íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì, åñëè îíî àääèòèâíî è îäíîðîäíî:

1) < F,ϕ1 + ϕ2 >=< F, ϕ1 > + < F, ϕ2 > ∀ϕ1, ϕ2 ∈ X;

2) < F,αϕ >= α < F, ϕ > ∀ϕ ∈ X, ∀α ∈ R.

Ïðèìåð 3.5. Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x) èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó. Ïðèìåðîì ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ è îãðàíè÷åííûõ íà âñåé âåùåñòâåííîé ïðÿ- ìîé ôóíêöèé ϕ ÿâëÿåòñÿ

< F, ϕ >=

R

f(y)ϕ(y)dy.

Ïðèìåð 3.6. Äåëüòà-ôóíêöèÿ, ñîñðåäîòî÷åííàÿ â òî÷êå x ∈ R, îïðåäåëÿåòñÿ êàê ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë, äåéñòâóþùèé ïî ïðàâèëó

< δ, ϕ >= ϕ(x).

íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé.

Îïðåäåëåíèå 3.19. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèîíàëîâ Fn ñëàáî ñõîäèòñÿ ê äåëüòà- ôóíêöèè íà X, åñëè

< Fn, ϕ >→< δ, ϕ > ïðè n →∞ ∀ϕ ∈ X.

docsity.com

3.3. Ëèíåéíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî C∞0 (RM) 38

×åðåç C(R) áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ è îãðàíè÷åííûõ íà âå- ùåñòâåííîé ïðÿìîé ôóíêöèé ñ íîðìîé

‖ϕ‖ = sup x∈R

(x)|.

Óòâåðæäåíèå 3.5. Ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå

ωh(|x− y|) −−→ h→0

δ(x− y)

âûïîëíÿåòñÿ â ñìûñëå ñëàáîé ñõîäèìîñòè íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ è îãðàíè÷åííûõ íà âñåé âåùåñòâåííîé ïðÿìîé ôóíêöèé.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî

< ωh(|x− y|), ϕ >−−→ h→0

< δ(x− y), ϕ > ∀ ϕ ∈ C(R),

òî åñòü < ωh(|x− y|), ϕ >−−→

h→0 ϕ(x).

Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü ∫

R

ωh(|x− y|)ϕ(y) dy − ϕ(x).

Òàê êàê èíòåãðàë îò ôóíêöèè ωh ðàâåí 1, òî ìîæíî âíåñòè ïîä çíàê èíòåãðàëà âòîðîå ñëàãàåìîå. Ó÷èòûâàÿ òàêæå íåîòðèöàòåëüíîñòü è ôèíèòíîñòü ôóíêöèè ωh, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó

∣∣∣∣∣∣

R

ωh(|x− y|)ϕ(y) dy − ϕ(x) ∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣

R

ωh(|x− y|)(ϕ(y)− ϕ(x)) dy ∣∣∣∣∣∣ 6

6 ∫

R

ωh(|x− y|) (y)− ϕ(x)| = ∫

Sh(x)

ωh(|x− y|)(x)− ϕ(y)| dy .

Òàê êàê ϕ ∈ C(R), òî

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 0 < h < δ ∀ y ∈ Sh(x) (x)− ϕ(y)| < ε.

Ñëåäîâàòåëüíî, ∫

Sh(x)

ωh(|x− y|)(x)− ϕ(y)| dy < ε

Sh(x)

ωh(|x− y|) dy = ε. (3.3)

docsity.com

Ãëàâà 4

Íåðàâåíñòâà Ôðèäðèõñà è Ïóàíêàðå

4.1 Íåðàâåíñòâî Ôðèäðèõñà Òåîðåìà 13 (Íåðàâåíñòâî Ôðèäðèõñà). Ïóñòü Ω Rm  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü, u ∈ C1(Ω), u ∈ C(Ω), u |∂Ω= 0 (ïîñëåäíåå óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ î÷åíü âàæíûì!). Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî

u2(x) dx 6 C

|∇u|2 dx , (4.1)

ïðè÷åì êîíñòàíòà C íå çàâèñèò îò u.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì îäíîìåðíûé ñëó÷àé. Ïóñòü m = 1, Ω = (a, b), u ∈ C1(a, b), u ∈ C[a, b], u(a) = 0, u(b) = 0. Òîãäà íåðàâåíñòâî íåðàâåíñòâî Ôðèäðèõñà ïðèíèìàåò âèä

b

a

u2(x) dx 6 C b

a

|u′(x)|2 dx . (4.2)

Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Íüþòîíà-Ëåéáíèöà ïðåäñòàâèì u(x) â âèäå

u(x) =

x

a

u′(s) ds . (4.3)

Âîçâåäåì ðàâåíñòâî (4.3) â êâàäðàò:

u2(x) =

 

x

a

u′(s) ds

 

2

=

 

x

a

1 · u′(s) ds  

2

.

Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî:  

x

a

1 · u′(s) ds  

2

6 x

a

12 dx

x

a

(u′(s))2 ds = (x− a) x

a

(u′(s))2 ds. (4.4)

docsity.com

4.1. Íåðàâåíñòâî Ôðèäðèõñà 40

Ò. ê. ïîä çíàêîì ïîñëåäíåãî èíòåãðàëà íåîòðèöàòåëüíîå âûðàæåíèå, òî èíòåãðàë òîëüêî óâåëè÷èòñÿ, åñëè â êà÷åñòâå âåðõíåãî ïðåäåëà âîçüìåì b.

(x− a) x

a

(u′(s))2 ds 6 (x− a) b

a

(u′(s))2 ds.

Òàêèì îáðàçîì,

u2(x) 6 (x− a) b

a

(u′(s))2 ds . (4.5)

Ïðîèíòåãðèðóåì ðàâåíñòâî (4.5) ïî x îò a äî b: b

a

u2(x) dx 6 (b− a) 2

2

b

a

(u′(x))2 dx , (4.6)

è íåðàâåíñòâî Ôðèäðèõñà äîêàçàíî â îäíîìåðíîì ñëó÷àå.

Çàìå÷àíèå 4.1. Óñëîâèå u(b) = 0 òàê è íå áûëî èñïîëüçîâàíî.

Äîêàçàòåëüñòâî ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé. Ïóñòü m = 2. Òàê êàê Ω R2  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü, òî åå ìîæíî ïîìåñòèòü â

íåêîòîðóþ ïîëîñó: Ω Π, ãäå

Π = {(x, y) : a < x < b, y ∈ R}.

Ïî óñëîâèþ, ôóíêöèÿ u(x, y) ðàâíà íóëþ íà ãðàíèöå îáëàñòè Ω. Ïðîäîëæèì ôóíê- öèþ u(x, y) íóëåì âî âñþ ïîëîñó.

6

- x

y

O

0 0 0

000 0

0

0

a b

Ïðåäñòàâèì u(x, y) ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì y â âèäå èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì âåðõ- íèì ïðåäåëîì

u(x, y) =

x

a

∂u

∂s (s, y) ds ,

Âîçâåäåì ýòî ðàâåíñòâî â êâàäðàò

u2(x, y) =

 

x

a

1 · ∂u ∂s

(s, y) ds

 

2

ïî íåðàâåíñòâó 6

Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî

x

a

12 ds

x

a

( ∂u

∂s (s, y)

)2 ds .

docsity.com

4.2. Íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå 41

Ïîñêîëüêó x

a

12 ds = x− a,

òî çàìåíèâ xa

( ∂u

∂s (s, y)

)2 ds íà áîëüøåå âûðàæåíèå, ïîëó÷èì

x

a

12 ds

x

a

( ∂u

∂s (s, y)

)2 ds 6 (x− a)

b

a

( ∂u

∂s (s, y)

)2 ds.

Ïðîèíòåãðèðóåì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ïî x îò a äî b. b

a

u2(x, y) dx 6 (b− a) 2

2

b

a

( ∂u

∂x

)2 (x, y) dx .

Òåïåðü ïðîèíòåãðèðóåì ïî y îò −∞ äî +. ∫

Π

u2(x, y) dx dy 6 (b− a) 2

2

Π

( ∂u

∂x

)2 (x, y) dx dy .

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî u|Π\Ω = 0, ïîëó÷èì ∫

u2(x, y) dx dy 6 ∫

( ∂u

∂x

)2 (x, y) dx dy 6

6 (b− a) 2

2

(( ∂u

∂x

)2 +

( ∂u

∂y

2)) dx dy =

(b− a)2 2

|∇u|2 dx dy .

Çàìå÷àíèå 4.2. Óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè îáëàñòè Ω ìîæíî îñëàáèòü. Äëÿ äîêàçà- òåëüñòâà äîñòàòî÷íî, ÷òîáû Ω áûëà îãðàíè÷åííîé â íåêîòîðîì íàïðàâëåíèè (íàïðè- ìåð, â R2 òàêèì ñâîéñòâîì îáëàäàåò ïîëîñà, â R3  ñëîé, áåñêîíå÷íûé öèëèíäð).

4.2 Íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå Ïóñòü Ω Rm  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü, u ∈ C1(Ω), u ∈ C(Ω), u |∂Ω= 0. Òîãäà âûïîëíÿ- åòñÿ íåðàâåíñòâî Ôðèäðèõñà

u2(x) dx 6 C

|∇u|2 dx (4.7)

docsity.com

4.2. Íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå 42

Åñëè îòàçàòüñÿ îò óñëîâèÿ u |∂Ω= 0, à îñòàëüíûå ïðåäïîëîæåíèÿ îñòàâèòü íåèç- ìåííûìè, òî áóäåò ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå

u2(x) dx 6 C1 ∫

|∇u|2 dx + C2

 

u(x) dx

 

2

. (4.8)

Ôîðìàëüíî îò íåðàâåíñòâà Ôðèäðèõñà îíî îòëè÷àåòñÿ òåì, ÷òî â ïðàâîé ÷àñòè ïîÿâëÿ- åòñÿ äîïîëíèòåëüíîå ñëàãàåìîå.

Äîêàæåì íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà îáëàñòü Ω ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä Π

Π = {x ∈ Rm | 0 < xi < li, i = 1,m }. (4.9)

Òîãäà êîíñòàíòû â íåðàâåíñòâå ïîëó÷àþòñÿ òî÷íûìè.

6

- x1

xm

O l1

lm

Òåîðåìà 14 (Íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå). Ïóñòü Π Rm  ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïè- ïåä (4.9), u ∈ C1(Π), u ∈ C(Π). Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

Π

u2(x) dx 6 1|Π|

 

Π

u(x) dx

 

2

+ m

2

m

k=1

Π

l2ku 2 xk

dx. (4.10)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ

yi = xi li

, 0 < yi < 1, i = 1,m.

Òîãäà ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä ïåðåéäåò â åäèíè÷íûé êóá Π1.

Π1 = {y ∈ Rm| 0 < yi < 1, i = 1,m }

Òàê êàê dx = |Π| dy, òî ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííûõ íåðàâåíñòâî (4.10) ïåðåéäåò â ñëåäó- þùåå:

|Π|

Π1

u2(y) dy 6 |Π|  

Π1

u(y) dy

 

2

+ |Π|m 2

m

k=1

Π1

u2yk dy .

docsity.com

4.2. Íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå 43

Ïîñëå äåëåíèÿ íà |Π|

Π1

u2(y) dy ≤  

Π1

u(y) dy

 

2

+ m

2

m

k=1

Π1

u2yk dy . (4.11)

Äîêàæåì ýòî íåðàâåíñòâî. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè:

y, y′ ∈ Π1 : y = (y1, . . . , ym), y′ = (y′1, . . . , y′m).

Ïåðåõîä îò y ê y′ ìîæíî îñóùåñòâèòü, äâèãàÿñü ïî ëîìàíîé ñî çâåíüÿìè, ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì îñÿì.

y(1) = (y′1, y2, y3, . . . , ym),

y(2) = (y′1, y ′ 2, y3, . . . , ym),

...

y(m) = (y′1, y ′ 2, y

3, . . . , y

′ m) = y

′.

Ïðèìåíèì ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà:

u(y′)− u(y) = y′1∫

y1

1(τ1, y2, . . . , ym)1 +

y′2∫

y2

2(y ′ 1, τ2, y3, . . . , ym)2 + . . .+

+

y′m

ym

uτm(y ′ 1, . . . , y

′ m−1, τm)dτm .

Âîçâåäåì â êâàäðàò îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà.

u2(y′)2u(y′)u(y) + u2(y) =

 

y′1∫

y1

1(τ1, y2, . . . , ym)1 +

+

y′2∫

y2

2(y ′ 1, τ2, y3, . . . , ym)2 + . . . +

+

y′m

ym

uτm(y ′ 1, . . . , y

′ m−1, τm)dτm

 

2

.

(4.12)

Çàìåòèì, ÷òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

(a1 + . . . + am) 2 6 m(a21 + . . . + a2m). (4.13)

docsity.com

4.2. Íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå 44

Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî (4.13) ê ïðàâîé ÷àñòè (4.12).

u2(y′)2u(y′)u(y) + u2(y) 6 m

 

 

y′1∫

y1

11

 

2

+ . . . +

 

y′m

ym

uτmdτm

 

2  .

Îöåíèì êàæäûé èíòåãðàë ïî íåðàâåíñòâó Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî.

m

 

 

y′1∫

y1

11

 

2

+ . . . +

 

y′m

ym

uτmdτm

 

2  6

6 m

 

y′1∫

y1

u2τ11 + . . . +

y′m

ym

u2τmdτm

  6 m

 

1∫

0

u2τ11 + . . . +

1∫

0

u2τmdτm

  .

Òàêèì îáðàçîì,

u2(y′)2u(y′)u(y) + u2(y) 6 m  

1∫

0

u2τ11 + . . . +

1∫

0

u2τmdτm

  .

Ïðîèíòåãðèðóåì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ïî y ∈ Π, y′ ∈ Π: ∫

Π1

dy

Π1

dy′ ( u2(y′)2u(y′)u(y) + u2(y)) 6

6 m

Π1

dy

Π1

dy′

 

1∫

0

u2τ11 + . . . +

1∫

0

u2τmdτm

  .

Îêîí÷àòåëüíî,

2

Π1

u2(y) dy − 2  

Π1

u(y) dy

 

2

6 m m

k=1

Π1

u2ykdy,

è íåðàâåíñòâî (4.11), à âìåñòå ñ íèì è (4.10), äîêàçàíî.

docsity.com

Ãëàâà 5

Îáîáùåííûå ïðîèçâîäíûå

5.1 Îïðåäåëåíèå îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé Ïóñòü Ω  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rm ñ êóñî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé Ω, ôóíêöèè f è g íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû â îáëàñòè Ω è íåïðåðûâíû âïëîòü äî ãðàíèöû: f, g ∈ C1(Ω) ∩ C(Ω), n  ïîëå âíåøíèõ åäèíè÷íûõ íîðìàëåé ê ãðàíèöå îáëàñòè Ω. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì:

∂f

∂xk g(x) dx =

f(x) ∂g

∂xk dx +

f(x)g(x)nk dS . (5.1)

×åðåç α áóäåì îáîçíà÷àòü ìóëüòèèíäåêñ  âåêòîð ñ öåëî÷èñëåííûìè íåîòðèöà- òåëüíûìè êîîðäèíàòàìè:

α = (α1, α2, . . . , αm), αi > 0.

Ñóììó êîîðäèíàò âåêòîðà α áóäåì íàçûâàòü ìîäóëåì α:

|α| = m

k=1

αk.

×åðåç Dαf îáîçíà÷èì ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè f

Dαf = ∂|α|

∂xα11 ∂x α2 2 . . . ∂x

αm m

.

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî D0f = f . Ïóñòü |α| = k, k > 1, ôóíêöèè f è g k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû â

îáëàñòè Ω è k− 1 ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû âïëîòü äî ãðàíèöû: f, g ∈ Ck(Ω), f, g ∈ Ck−1(Ω). Ïåðåáðîñèâ âñå ïðîèçâîäíûå ñ ôóíêöèè f íà g ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (5.1), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó ðàâåíñòâó

Dαf(x)g(x) dx = (1)|α|

f(x)Dαg(x) dx +

M(f, g) dS . (5.2)

docsity.com

5.1. Îïðåäåëåíèå îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé 46

Çäåñü M  íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ðàâíà íóëþ, åñëè õîòÿ áû îäíà èç ôóíêöèé f èëè g íà ãðàíèöå îáëàñòè Ω ðàâíà íóëþ.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî g ∈ C∞0 (Ω). Òîãäà â (5.2) ãðàíè÷íûé èíòåãðàë ïðîïàäàåò è îñòàåòñÿ ðàâåíñòâî îáúåìíûõ èíòåãðàëîâ:

Dαf(x)g(x) dx = (1)|α|

f(x)Dαg(x) dx. (5.3)

Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëîâ â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (5.3) ðàçëè÷íû. Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûðàæåíèå â ëåâîé ÷àñòè èìåëî ñìûñë, äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ôóíêöèÿ f áûëà k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà. Èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ñóùåñòâóåò ïðè áîëåå ñëàáûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî f .

Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (5.3) äî- ñòàòî÷íî, ÷òîáû ôóíêöèÿ f áûëà ëîêàëüíî èíòåãðèðóåìà â îáëàñòè Ω. Îöåíèì ìîäóëü èíòåãðàëà

∣∣∣∣∣∣

f(x)Dαg(x) dx

∣∣∣∣∣∣ 6

|f(x)||Dαg(x)| dx .

Ò. ê. ôóíêöèÿ g ∈ C∞0 (Ω), òî ôàêòè÷åñêè èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî Ω supp g(x), è ïðîèç- âîäíûå ïîðÿäêà α îãðàíè÷åíû. Îáîçíà÷èì

K = max x∈ supp g(x)

|Dαg(x)|,

òîãäà ∫

|f(x)||Dαg(x)| dx 6 K

|f(x)| dx .

Äëÿ ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ôóíêöèÿ f ∈ L1(Ω): ∫

|f(x)| dx < ∞.

Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî òðåáîâàíèå ìîæíî îñëàáèòü  äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè (5.3) äîñòàòî÷íî ëîêàëüíîé èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè f :

f ∈ L1, loc(Ω).

Çàìåòèì òàêæå, ÷òî â êà÷åñòâå Ω ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íåîãðàíè÷åííóþ îáëàñòü, ò. ê. èíòåãðèðîâàíèå ïðîèñõîäèò íå ïî Ω, à ïî îãðàíè÷åííîìó ìíîæåñòâó, íà êîòîðîì ôóíêöèÿ g îòëè÷íà îò íóëÿ.

Ñêàçàííîå âûøå ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü îáîáùåííóþ ïðîèçâîäíóþ ëîêàëüíî èíòå- ãðèðóåìîé â îáëàñòè Ω ôóíêöèè f . Ïðè ýòîì ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (5.3) ïðèíèìàåòñÿ â êà÷åñòâå îïðåäåëåíèÿ ëåâîé ÷àñòè. Òî÷íåå, îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâå C∞0 (Ω).

docsity.com

5.2. Ñâÿçü ñ îáû÷íîé ïðîèçâîäíîé 47

Îïðåäåëåíèå 5.1. Ôóíêöèÿ (x) ∈ L1, loc(Ω) íàçûâàåòñÿ îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé ïîðÿäêà α â îáëàñòè Ω ôóíêöèè f(x) ∈ L1, loc(Ω) , åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùåå òîæ- äåñòâî:

(x)g(x) dx = (1)|α|

f(x)Dαg(x) dx ∀ g ∈ C∞0 (Ω). (5.4)

5.2 Ñâÿçü ñ îáû÷íîé ïðîèçâîäíîé Âûÿñíèì, êàêîâà ñâÿçü ìåæäó ïîíÿòèÿìè îáû÷íîé ïðîèçâîäíîé è îáîáùåííîé. Îêàçû- âàåòñÿ, ÷òî åñëè ñóùåñòâóåò îáû÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ, òî ñóùåñòâóåò è îáîáùåííàÿ, ñîâïà- äàþùàÿ ñ îáû÷íîé. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ íàïîìíèì îñíîâíóþ ëåììó âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ  ëåììó Äþáóà-Ðåéìîíà.

Òåîðåìà 15 (Îñíîâíàÿ ëåììà âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ). Ïóñòü f(x) ∈ L1, loc(Ω), è äëÿ ëþáîé g ∈ C∞0 (Ω) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

f(x) g(x) dx = 0.

Òîãäà f(x) = 0 ï.â. x ∈ .

Äîêàæåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå

Óòâåðæäåíèå 5.1. Åñëè f(x) èìååò â ëþáîé òî÷êå x ∈ Ω îáû÷íóþ ïðîèçâîäíóþ ïîðÿäêà α, òî äëÿ íåå ñóùåñòâóåò è îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîðÿäêà α, ñîâïàäàþùàÿ êàê ôóíêöèîíàë íà C∞0 (Ω) ñ îáû÷íîé.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ îáû÷íîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà èíòå- ãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì (5.3), à îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó (5.4). Ò. ê. ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ ðàâåíñòâ ñîâïàäàþò, òî ìîæíî ïðèðàâíÿòü èõ ëåâûå ÷àñòè.

(x)g(x) dx =

Dαf(x)g(x) dx.

Ñëåäîâàòåëüíî,

∀ g ∈ C∞0 (Ω) ∫

((x)−Dαf(x))g(x) dx = 0. (5.5)

Ïî ëåììå Äþáóà-Ðåéìîíà îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî

(x)−Dαf(x) ïî÷òè=âñþäó 0.

docsity.com

5.3. Ñâÿçü ñ ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè 48

Ïîíÿòèå îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé øèðå, ÷åì ïîíÿòèå îáû÷íîé ïðîèçâîäíîé, òàê êàê ðàñøèðÿåòñÿ êëàññ ôóíêöèé, êîòîðûå ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü.

Ïðèìåð 5.1. Ïóñòü f(x) = |x1|, x ∈ Rm. Òîãäà f ∈ L1, loc(Rm). Îáû÷íîé ïðîèçâîäíîé ∂f

∂x1 íå ñóùåñòâóåò. Äîêàæåì, ÷òî îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ (x) = sgn(x1). Çäåñü

α = (1, 0, . . . , 0).

Ïî îïðåäåëåíèþ îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé

∀ g ∈ C∞0 (Rm) ∫

Rm

(x)g(x) dx =

Rm

|x1| ∂g ∂x1

dx =

=

x1>0

x1 ∂g

∂x1 dx +

x1<0

x1 ∂g

∂x1 dx =

=

x1>0

1 · g(x) dx −

x1

1 · g(x) dx = ∫

Rm

(x)g(x) dx =

Rm

sgn(x1)g(x) dx.

Òàê êàê

sgn(x1) ∈ L1, loc(Rm), (5.6)

òî

(x) = sgn(x1). (5.7)

5.3 Ñâÿçü ñ ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè Îïðåäåëåíèå 5.2. Îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè f , åñëè

∀ g ∈ C∞0 (Ω) < fα, g >= (1)|α| < f, Dαg > . (5.8)

Ïîíÿòèå îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé óæå ïîíÿòèÿ ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè, òàê êàê, ïî îïðåäåëåíèþ îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé, äèôôåðåíöèðóþòñÿ òîëüêî ëîêàëüíî èíòåãðèðóåìûå ôóíêöèè è òðåáóåòñÿ, ÷òîáû îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ áûëà ëîêàëüíî èíòåãðèðóåìîé.

Ïðèìåð 5.2. Ïóñòü f(x) = sgn(x1). Òîãäà f ∈ L1, loc(Rm). Ñóùåñòâóåò ∂f ∂x1

â ñìûñëå

äèôôåðåíöèðîâàíèÿ îáîáùåííûõ ôóíêöèé. Íî îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé ∂f ∂x1

íå ñóùå- ñòâóåò.

docsity.com

5.3. Ñâÿçü ñ ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè 49

Ïî îïðåäåëåíèþ îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé è ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè, äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g ∈ C∞0 (Rm)

< fα, g >=

Rm

(x)g(x) dx =

Rm

sgn(x1) ∂g

∂x1 dx =

=

x1>0

∂g

∂x1 dx +

x1<0

∂g

∂x1 dx .

Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì è ïîëüçóÿñü ôèíèòíîñòüþ ôóíêöèè g, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó

x1>0

∂g

∂x1 dx +

x1<0

∂g

∂x1 dx =

x1=0

g(x)n−1 dS + ∫

x1=0

g(x)n+1 dS ,

ãäå dS = dx2 . . . dxm, n− è n+  âíåøíèå åäèíè÷íûå íîðìàëè ê ãðàíèöå ïîëóïðîñòðàíñòâ x1 > 0 è x1 < 0 ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà

n−1 = 1, n+1 = 1. Ñëåäîâàòåëüíî,

x1=0

g(x)n−1 dS + ∫

x1=0

g(x)n+1 dS = 2

x1=0

g(x) dx2 . . . dxm. (5.9)

Ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (5.9) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ëèíåéíîãî íåïðå- ðûâíîãî ôóíêöèîíàëà. Ïóñòü S  ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì x1 = 0, δS  δ-ôóíêöèÿ, ñîñðåäîòî÷åííàÿ íà ïîâåðõíîñòè S. Îíà çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì

< δS, g >=

S

g(x) dS.

Òîãäà äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g ∈ C∞0 (Rm) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

< fα, g >= 2

x1=0

g(x) dx2 . . . dxm =< 2δS, g > .

docsity.com

5.3. Ñâÿçü ñ ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè 50

Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâîäíàÿ ∂f ∂x1

ôóíêöèè f(x) = sgn(x1) êàê îáîáùåííîé ôóíêöèè ñóùåñòâóåò è ðàâíà

= δS.

Ïîêàæåì, ÷òî îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé íå ñóùåñòâóåò. Òî åñòü íå ñóùåñòâóåò òàêîé ôóíêöèè fα ∈ L1, loc(Rm), ÷òî ∀ g ∈ C∞0 (Rm) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

Rm

(x)g(x) dx = 2

x1=0

g(x) dx2 . . . dxm (5.10)

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîçüìåì ñíà÷àëà â êà÷åñòâå ôóíêöèè g ∈ C∞0 (Rm) ïðîèçâîëü- íóþ ôóíêöèþ g ∈ C∞0 (x1 > 0). Òîãäà èç (5.10) ñëåäóåò,÷òî

Rm

(x)g(x) dx = 0 ∀g ∈ C∞0 (x1 > 0).

Îòñþäà âûòåêàåò

(x) ïî÷òè =

âñþäó 0 ïðè x1 > 0. (5.11)

Àíàëîãè÷íî, åñëè â êà÷åñòâå ôóíêöèè g ∈ C∞0 (Rm) âçÿòü ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ g ∈ C∞0 (x1 < 0). Òîãäà

Rm

(x)g(x) dx = 0 ∀g ∈ C∞0 (x1 > 0).

Ñëåäîâàòåëüíî,

(x) ïî÷òè =

âñþäó 0 ïðè x1 < 0. (5.12)

Èç (5.11) è (5.12) ñëåäóåò, ÷òî

(x1) ïî÷òè =

âñþäó 0 ∀ x1 Rm. (5.13)

Òîãäà â ðàâåíñòâå (5.10) ñëåâà ïîëó÷àåì íîëü:

0 = 2

x1=0

g(x) dx2 . . . dxm ∀g ∈ C∞0 (Rm).

Íî òàê êàê ñóùåñòâóåò g ∈ C∞0 (Rm), äëÿ êîòîðîé èíòåãðàë â íîëü íå îáðàùàåòñÿ, òî ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ.

docsity.com

Ãëàâà 6

Ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà

6.1 Ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà W kp (Ω) Îáîçíà÷åíèå ïðîñòðàíñòâà W kp (Ω) ëàòèíñêîé áóêâîé W ïðîèçîøëî îò àíãëèéñêîãî ñëîâà week, ÷òî ïåðåâîäèòñÿ íà ðóññêèé ÿçûê êàê ñëàáûé. Ýòî ñâÿçàíî ñ ïðåäïîëîæåíèåì î ñóùåñòâîâàíèè ó ôóíêöèé èç W kp (Ω) îáîáùåííûõ (ò.å. ñëàáûõ) ïðîèçâîäíûõ ïîðÿäêà k.

Îïðåäåëåíèå 6.1. Ïðè k = 0 W kp (Ω) = Lp(Ω).

Îïðåäåëåíèå 6.2. Ïðè k ∈ N W kp (Ω) =

{ f ∈ Lp(Ω) | ∃Dαf ∈ Lp(Ω)  îáîáùåííûå ïðîèçâîäíûå, |α| 6 k,

‖f‖W kp (Ω) =   ∑

|α|6k ‖Dαf‖pLp(Ω)

 

1/p} .

 ÷àñòíîñòè, ïðè p = 2 â ïðîñòðàíñòâå W k2 (Ω) ìîæíî ââåñòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäå- íèå, ñîãëàñîâàííîå ñ íîðìîé äàííîãî ïðîñòðàíñòâà

(f, g)W k2 (Ω) = ∑

|α|6k (Dαf,Dαg)L2(Ω).

Óòâåðæäåíèå 6.1. Ïðè p = 2 W kp (Ω)  ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, î÷åâèäíî, âûïîëíÿþòñÿ. Äîêà- æåì, ÷òî W k2 (Ω)  ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà ðàâíîñèëüíà ñõîäèìî- ñòè êàæäîé ôóíäàìåíòàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â íåì.

Ïóñòü {fn} ∈ W k2 (Ω)  ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: ‖fn − fm‖W k2 (Ω) −−−−−→n, m→∞ 0.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

‖fn − fm‖2W k2 (Ω) = ∫

|α|6k |Dαfn(x)−Dαfm(x)|2 dx −−−−−→

n, m→∞ 0.

docsity.com

6.1. Ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà WKP (Ω) 52

Ñëåäîâàòåëüíî,

∀α : |α| 6 k

|Dαfn(x)−Dαfm(x)|2 dx −−−−−→ n, m→∞

0. (6.1)

Îòñþäà ïðè α = 0 ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå

‖fn − fm‖L2(Ω) −−−−−→ n, m→∞

0,

èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn ôóíäàìåíòàëüíà â L2(Ω). Ò. ê. L2(Ω)  ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî, òî îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî

∃ f ∈ L2(Ω) : ‖fn − fm‖L2(Ω) −−−−−→ n, m→∞

0.

Ïóñòü òåïåðü α  ïðîèçâîëüíûé ìóëüòèèíäåêñ òàêîé, ÷òî |α| 6 k. Ó÷èòûâàÿ (6.1), â ñèëó ïîëíîòû L2 ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî α

∃ fα ∈ L2(Ω) : ‖Dαfn − fα‖L2(Ω) −−−→ n→∞

0.

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîëíîòû ïðîñòðàíñòâà W k2 (Ω) îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî

1) f ∈ W k2 (Ω);

2) = Dαf .

Ò. ê. fn ∈ W k2 (Ω), òî

∀ α : |α| 6 k ∃Dαfn ∈ L2(Ω),

Ïðèìåíèì ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì

∀ g ∈ C∞0 (Dαfn, g)L2(Ω) = (1)|α|(fn, Dαg)L2(Ω). (6.2)

Íàéäåì ïðåäåëû ïðè n →∞ ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (6.2). Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî

∀ g ∈ C∞0 (Ω) (Dαfn, g)L2(Ω) −−−→ n→∞

(fα, g)L2(Ω). (6.3)

Ýòî ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî:

|(Dαfn, g)L2(Ω) (fα, g)L2(Ω)| = |(Dαfn − fαg)L2(Ω)| ïî íåðàâåíñòâó

6 Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî

6 ‖Dαfn − fα‖L2(Ω)‖g‖L2(Ω) Ò. ê. g ôèíèòíà è áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà, òî g ∈ L2. Ò. ê. ‖Dαfn−fα‖L2(Ω) −−−→

n→∞ 0

è ‖g‖L2(Ω) < ∞, òî

‖Dαfn − fα‖L2(Ω)‖g‖L2(Ω) −−−→ n→∞

0.

docsity.com

6.2. Ñëåä ôóíêöèè èç ïðîñòðàíñòâà W 12 (Ω) 53

Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî

(fn, D αg)L2(Ω) −−−→

n→∞ (f, Dαg)L2(Ω). (6.4)

Ñíîâà ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî

|(fn, Dαg)L2(Ω) (f,Dαg)L2(Ω)| ïî ñâîéñòâó

= ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ

= |(fn − f, Dαg)|L2(Ω) ïî íåðàâåíñòâó

6 Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî

‖fn − f‖L2(Ω)‖Dαg‖L2(Ω).

Ò. ê. ‖fn − f‖L2(Ω) −−−→ n→∞

0 è g ôèíèòíà è áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà, òî

‖fn − f‖L2(Ω)‖Dαg‖L2(Ω) −−−→ n→∞

0.

Îêîí÷àòåëüíî, èç (6.3) è (6.4) ñëåäóåò, ÷òî

∀ g ∈ C∞0 (fα, g)L2(Ω) = (1)|α|(f, Dαg)L2(Ω).

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî îïðåäåëåíèþ îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé,

(Dαf, g)L2(Ω) = (1)|α|(f,Dαg)L2(Ω) ∀ g ∈ C∞0 .

Òîãäà (fα, g)L2(Ω) = (D

αf, g)L2(Ω) ∀ g ∈ C∞0 . Ñëåäîâàòåëüíî,

f ∈ W k2 (Ω); = Dαf.

6.2 Ñëåä ôóíêöèè èç ïðîñòðàíñòâà W 12 (Ω) Ïóñòü Ω Rm  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü, S ⊂ Ω  (m − 1)-ìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü. Åñëè ôóíêöèÿ f = f(x) îïðåäåëåíà âñþäó â Ω, òî îíà îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíà è íà ïîâåðõíî- ñòè S. Åñëè æå ôóíêöèÿ f = f(x) îïðåäåëåíà ïî÷òè âñþäó â Ω, òî, âîîáùå ãîâîðÿ, îíà ìîæåò ïðèíèìàòü íà ïîâåðõíîñòè S ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ (òàê êàê mes Ω = 0).

Íî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ìîæíî ãîâîðèòü î çíà÷åíèÿõ íà (m − 1)-ìåðíîé ïîâåðõ- íîñòè ïî÷òè âñþäó îïðåäåëåííîé ôóíêöèè.

Ïðèìåð 6.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà âïëîòü äî ãðàíèöû îáëàñòè Ω: f ∈ C(Ω), â êà÷åñòâå S áåðåòñÿ ãðàíèöà îáëàñòè: S = Ω. Òîãäà, åñëè ôóíêöèÿ çàäàíà ëèøü âíóòðè îáëàñòè, òî åå ìîæíî ïðîäîëæèòü íà S ïî íåïðåðûâíîñòè.

Ïðèìåð 6.2. Ïóñòü f ∈ L2(Ω), S = Ω∩ {xm = const}. Òîãäà, ïî òåîðåìå Ôóáèíè, äëÿ ïî÷òè âñåõ xm ñóùåñòâóåò îïðåäåëåíííîå ïî÷òè âñþäó íà S çíà÷åíèå f |x∈S ôóíêöèè f(x). Ïðè ýòîì f |xm=const∈ L2(S) ïðè ïî÷òè âñåõ xm.

docsity.com

6.2. Ñëåä ôóíêöèè èç ïðîñòðàíñòâà W 12 (Ω) 54

Îêàçûâàåòñÿ, åñëè f ∈ W k2 (Ω) ïðè k > 1, òî ìîæíî ãîâîðèòü î åå çíà÷åíèÿõ íà ïîâåðõíîñòè S ⊂ Ω. Òàê êàê

W 12 (Ω) ⊃ W k2 (Ω), k > 1, (6.5)

òî äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé k = 1. Óïðîùåííî ãîâîðÿ, ñëåäîì ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ ñóæåíèå ôóíêöèè íà ïîâåðõíîñòü,

öåëèêîì ëåæàùóþ â Ω (â ÷àñòíîì ñëó÷àå S = Ω). Äàäèì áîëåå ñòðîãîå îïðåäåëåíèå.

Îïðåäåëåíèå 6.3. Ñëåä ôóíêöèè  ýòî îïåðàòîð γ : W 12 (Ω) → L2(S), äåéñòâóþùèé ïî ïðàâèëó: γf(x) = f(x)|S, ãäå S ⊂ Ω  íåêîòîðàÿ ïîâåðõíîñòü.

Äîêàæåì, ÷òî òàêîé îïåðàòîð ìîæíî îïðåäåëèòü, è îí ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì.

Òåîðåìà 16. Ïóñòü âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ

1) Ω Rm  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü,

2) S ⊂ Ω, S ∈ C1, ∈ C1,

3) f ∈ W 12 (Ω). Òîãäà äëÿ ôóíêöèè f îïðåäåëåí îïåðàòîð ñëåäà γ : W 12 (Ω) → L2(S), äåéñòâóþùèé ïî ïðàâèëó: γf = f |x∈S, è âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà

‖f‖L2(S) 6 C‖f‖W 12 (Ω). (6.6)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü S1 ⊂ S  ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S, êîòîðàÿ îäíîçíà÷íî ïðîåêòè- ðóåòñÿ íà îáëàñòü D ïëîñêîñòè xm = 0 è çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì

xm = ϕ(x1, x2, . . ., xm−1), ϕ ∈ C1(D).

Îáîçíà÷èì = (x1, . . . , xm−1) ∈ D, ãäå D  îáëàñòü èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ. Íàïðèìåð, åñëè m = 3 è S : x21 + x22 + x23 = 1  ñôåðà, òî â êà÷åñòâå S1 ìîãóò

âûñòóïàòü âåðõíÿÿ èëè íèæíÿÿ ïîëóñôåðû

S+ : x3 = √

1− x22 − x21,

S− : x3 =

1− x22 − x21,

à â êà÷åñòâå îáëàñòè D  åäèíè÷íûé êðóã x21 + x22 6 1. 6

-

xm

O

x̃=const

x̃m =const S =

? ?? ?

6 66 6

docsity.com

6.2. Ñëåä ôóíêöèè èç ïðîñòðàíñòâà W 12 (Ω) 55

Ñíà÷àëà äîêàæåì ôîðìóëó (6.6) äëÿ ãëàäêèõ ôóíêöèé. Ïóñòü f íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà â Ω è îáðàùàåòñÿ â íîëü íà ãðàíèöå îáëà-

ñòè: f ∈ C10(Ω). Òàê êàê Ω  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü, òî åå ìîæíî ïîìåñòèòü âíóòðü Ka  ïðÿìî-

óãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ñî ñòîðîíîé a:

Ka = {x ∈ Rm | |xi| ≤ a, i = 1,m .}

⊂ Ka.

Ïðîäîëæèì f(x) íóëåì íà âåñü ïàðàëëåëåïèïåä: f(x) = 0, x ∈ Ka \ Ω. Ïðè ýòîì ñîõðàíÿåòñÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè.

6

-̃x

xm

a

a

ϕ(x̃)

O x̃

0

0 00

0

0

0

0

0

0 0 0

Âûðàçèì ôóíêöèþ f â òî÷êå ïîâåðõíîñòè S1 ÷åðåç ôóíêöèþ ϕ.

f(x) |S1= f(x̃, ϕ(x̃)).

Òî÷êà èìååò (m− 1)-êîîðäèíàòó. Ïðèìåíèì ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà.

f(x̃, ϕ(x̃)) =

ϕ(x̃)∫

0

∂f

∂ξm (x̃, ξm) dξm.

Îöåíèì èíòåãðàë ïî ìîäóëþ

|f(x) |S1| 6 ϕ(x̃)∫

0

∣∣∣∣ ∂f

∂ξm

∣∣∣∣ (x̃, ξm) dξm.

Âîçâåäåì ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî â êâàäðàò è ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Êîøè- Áóíÿêîâñêîãî

|f(x) |S1|2 6  

ϕ(x̃)∫

0

1 · ∣∣∣∣

∂f

∂ξm

∣∣∣∣ (x̃, ξm) dξm

 

2

6

6 ϕ(x̃) ϕ(x̃)∫

0

∣∣∣∣ ∂f

∂ξm

∣∣∣∣ 2

(x̃, ξm) dξm ò. ê. 6

ϕ(x̃)<a a

a

0

∣∣∣∣ ∂f

∂ξm (x̃, ξm)

∣∣∣∣ 2

dξm.

docsity.com

комментарии (0)

Здесь пока нет комментариев

Ваш комментарий может быть первым

Это только предварительный просмотр

3 страница на 30 страницах

Скачать документ