Задачи - упражнение - Теория вероятностей и математическая статистика (2), Упражнения и задачи из Теория вероятностей и математическая статистика. Иркутский национальный исследовательский технический университет (ИРНИТУ)
dimon_87
dimon_8721 марта 2013 г.

Задачи - упражнение - Теория вероятностей и математическая статистика (2), Упражнения и задачи из Теория вероятностей и математическая статистика. Иркутский национальный исследовательский технический университет (ИРНИТУ)

PDF (94 KB)
7 страница
999Количество просмотров
Описание
Задачи, тесты и упражнения по предмету математика. Теория вероятностей и математическая статистика. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Разные варианты. Часть 2.
20 баллов
Количество баллов, необходимое для скачивания
этого документа
Скачать документ
Предварительный просмотр3 страница / 7

Это только предварительный просмотр

3 страница на 7 страницах

Скачать документ

Это только предварительный просмотр

3 страница на 7 страницах

Скачать документ

Это только предварительный просмотр

3 страница на 7 страницах

Скачать документ

Это только предварительный просмотр

3 страница на 7 страницах

Скачать документ
Задачи, вариант 2 - задачи - Теория вероятностей и математическая статистика

1

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Серпуховское представительство

Контрольная работа

По дисциплине:

«Теория вероятности и математическая статистика»

Тема:

«Задачи, вариант 2»

Уфа, 2009

2

Контрольная работа №3 Задание №1

Покупатель приобрел телевизор и магнитофон. Вероятность того, что в течение гарантийного срока не выйдет из строя телевизор, равна 0,85, а для магнитофона она равна 0,98. найти вероятность того, что:

а) оба они выдержат гарантийный строк службы б) хотя бы один из них не выдержит гарантийного срока службы.

Решение: а) пусть событие А – оба прибора выдержат гарантийный срок службы. Вероятность того что телевизор выдержит гарантийный строк р1=0,85, а магнитофона р2=0,98 тогда: Р(А) = р1* р2 Р(А)= 0,85*0,98= 0,833 Ответ: вероятность того, что оба прибора выдержат гарантийный срок б) вероятность того, что хотя бы один из приборов выдержит гарантий срок равна

)(1)( АРАР −= 167,0833,01)( =−=АР

Ответ: вероятность того, что хотя бы один из приборов не выдержит гарантийного срока службы равна 0,167 Задание №2

Чтобы получить зачет по математике, необходимо дать правильные ответы не менее чем на четыре вопроса из пяти представленных. Студент выбирает ответ на вопрос наудачу их трех предлагаемых вариантов. Какова вероятность получить зачет при таких условиях? Решение: Пусть А – один правильный ответ на вопрос, тогда:

3

1 )( == рАР

События являются независимыми. Воспользуемся формулой Бернулли.

knnk nn qpcкР

−=)(

3

2

3

1 1

1

=−=

−=

q

pq

)5()4()4( 555 PPkP +=≥

3

0,045267004115,0041152,0)5()4()4(

0,0041151* 243

1 *1

3

2 *

3

1 *

!5)!*55(

!5

3

2 *

3

1 *)5(

041152,0 3

2 *

81

1 *5

3

2 *

3

1 *

!4)!*45(

!5

3

2 *

3

1 )4(

555

05555 5 55

14454 4 55

=+=+=≥

== 

  

  

  

− =

  

  

  

=

== 

  

  

  

− =

  

  

  

∗=

PPkP

СР

СР

Ответ: вероятность того, что студент получит зачет равна 0,045267 Задание №3

Среди пассажиров маршрута №9 в среднем 10 из 100 – льготники. Определить вероятность того, что из 2000 пассажиров, проехавших за день, льготниками окажутся:

а) 180 человек б) от 120 до 220 пассажиров включительно.

Решение: Пусть А – льготный пассажир, тогда:

1,0 100

10 )( === рАР

События являются независимыми. а) воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласса, т.к. n велико, а p мало.

npq

npk x

e n

xf

xf npq

kP

x

n

−=

=

− 2

2

* 2

1 )(

)(* 1

)(

p = 0,1 n = 2000

9,01,01

1

=−= −=

q

pq

k =180

0,0098011315,0* 9,0*1,0*2000

1 )180(

1315,0)49,1()(

49,1 9,0*1,0*2000

1,0*2000180

2000 ==

=−=

=−=−=

P

fxf

npq

npk x

4

Ответ: вероятность того, что из 2000 пассажиров, проехавших за день, льготниками окажутся 180 человек равна 0,009801. б) воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласса

dt t

x

n

e n

хФ

npq

тзk Ф

npq

npk ФkkkP

2

0

12 21

2

2

2 )(

2

1 )(

∫=

  

  

 

 

 −−  

 

 −=≤≤

1k =120

2k =220 n = 2000 p = 0,1

9,01,01

1

=−= −=

q

pq

( ) ( )[ ]

0,9319)18638,0( 2

1

96,549,1 2

1

9,0*1,0*2000

1,0*2000120

9,0*1,0*2000

1,0*2000220

2

1 )220120(2000

=+=

=−−=   

  

 

 

 −− 

 

 −=≤≤ ФФФФkP

Ответ: вероятность того, что из 2000 пассажиров, проехавших за день, льготниками окажутся от 120 до 220 пассажиров равна 0,9319 Задание №4

Абитуриент сдает вступительный экзамен. Вероятность того, что он правильно решит первую задачу равна 0,7 и уменьшается на 0,1 для каждой последующей задачи. Составить закон распределения числа решенных задач, если в билете всего три задачи. Найти среднее квадратичное отклонение этой случайной величины и построить ее график функции распределения. Решение: Пусть x- число правильно решенных задач: 3,2,1,0 4321 ==== xxxx Определим соответствующие вероятности:

5,05,011

5,0

4,06,011

6,0

3,07,011

7,0

31

3

22

2

11

1

=−=−= =

=−=−= =

=−=−= =

pq

p

pq

p

pq

p

5

21,05,0*6,0*7,0)3(

44,05,0*6,0*3,05,0*4,0*7,05,0*6,0*7,0)2(

0,295,0*4,0*3,05,0*6,0*3,05,0*4,0*7,0)1(

0,065,0*4,0*3,0)0(

321

321321321

321321321

321

==== =++=++==

=++=++== ====

pppxp

ppqpqpqppxp

pqqqpqqqpxp

qqqxp

Искомый ряд распределения выглядит так:

0 1 2 3

ip 0,06 0,29 0,44 0,21

121,044,029,006,0 =+++=∑ ip Среднее квадратичное отклонении находится по следующей формуле

)()( XDХ =σ [ ]

( ) 0,836667,0)(

7,08,194,3)(

94,321,0*344,0*229,0*106,0*0)M(X

)M(X

1,821,0*344,029,0*106,0*0)(

)(

)()()(

2

22222

22

22

==

=−=

=+++=

=

=+++=

= −=

X

XD

px

XM

pxXM

XMXMXD

ii

ii

σ

Построим для случайной величины X функцию распределения F(х) Будем задавать различные значения x и находить для них значения ( )xXPxF <=)(

1. если 0≤x , то )(xF =0, т.к. случайная величина X не принимает значение меньше 0, т.е. ( ) 00 =<XP

2. пусть 10 ≤< x . Тогда случайная величина X принимает только одно значение: 01 =x , меньше, чем рассматриваемое число x , с вероятностью ⇒= 06,01p

06,0)0()( === XPxF 3. пусть 21 ≤< x . Тогда случайная величина X принимает два значения: 01 =x и

12 =x меньше, чем рассматриваемое число x , с вероятностями соответственно 06,01 =p и ( ) ( ) 35,029,006,01)0()(29,02 =+==+==<=⇒= XPXPxXPxFp

4. пусть 32 ≤< x . Тогда случайная величина X принимает два значения: 01 =x , 12 =x и 23 =x меньше, чем рассматриваемое число x , с вероятностями

соответственно 06,01 =p , 29,02 =p и ⇒= 44,03p ( ) ( ) 79,044,029,006,0)2(1)0()( =++==+=+==<= XPXPXPxXPxF

5. пусть 3>x , тогда величина X принимает все четыре свои значения 01 =x , 12 =x , 23 =x и 34 =x меньше, чем рассматриваемое число x , с

вероятностями соответственно 06,01 =p , 29,02 =p , ⇒== 21,0,44,0 43 pp ( ) ( ) ( ) 121,044,029,006,03)2(1)0()( =+++==+=+=+==<= XPXPXPXPxXPxF

Итак, мы получили:

6

  

 

> ≤< ≤< ≤<

=

3,1

32,79,0

21,35,0

10,06,0

0,0

)(

xпри

xпри

xпри

xпри

xпри

xF

Изобразим функцию )(xF графически: )(xF

x Задание №5 Случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами a и 2σ . Найти параметр a , если известно, что σ =1,2 и ( ) 5,03 =>XP . Вычислить вероятность того, что значение случайной величины Х окажется больше 5. Решение: 1. Найдем параметр a

Воспользуемся формулой ( )  

  

  

  

 −− 

  

 −=<< σ

α σ

ββα aФaФxP 2

1

2,1=σ

( ) ( )

5,0 2,1

3

2

1

2

1

2,1

3

2

1

2

1

2,1

3 0,1

2

13

2

1 3

= 

  

 −−

 

  

 −−= 

  

  

  

 −−= 

  

  

  

 −−∞=>

a Ф

a Ф

a Ф

a ФФxP

σ

1 0,79 0,35 0,06

1 2 3 4

7

3

03

0 2,1

3

0 2,1

3

0 2,1

3

2

1

= =−

=−

= 

  

 −

= 

  

 −−

a

a

a

a Ф

a Ф

2. Вычислим вероятность ( )5>XP

( ) ( ) ( )[ ] [ ] 04745,09051,01 2

1 67,11

2

1

2,1

35

2

1 5 =−=−=

  

  

  

 −−∞=> ФФФXP

Ответ: 3=a , ( )5>XP =0,04745

комментарии (0)

Здесь пока нет комментариев

Ваш комментарий может быть первым

Это только предварительный просмотр

3 страница на 7 страницах

Скачать документ