Дополнительные главы математической физики - конспекты - Математическая физика (3), Конспекты лекций из Математическая физика. Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (МГУ)
Viktor_86
Viktor_86

Дополнительные главы математической физики - конспекты - Математическая физика (3), Конспекты лекций из Математическая физика. Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (МГУ)

PDF (1 MB)
30 стр-ы.
589Количество просмотров
Описание
Конспект лекций по предмету математическая физика. Часть 3. Пространства. Бонаховы пространства. Решение задач.
20 баллов
Количество баллов, необходимое для скачивания
этого документа
Скачать документ
Предварительный просмотр3 стр-ы. / 30
Это только предварительный просмотр
3 стр. на 30 стр.
Скачать документ
Это только предварительный просмотр
3 стр. на 30 стр.
Скачать документ
Это только предварительный просмотр
3 стр. на 30 стр.
Скачать документ
Это только предварительный просмотр
3 стр. на 30 стр.
Скачать документ

3.1. Áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà C(Ω), C0(Ω), CK(Ω) 31

Îïðåäåëåíèå 3.5. Áàíàõîâûì íàçûâàåòñÿ ïîëíîå ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàí- ñòâî.

Îïðåäåëåíèå 3.6. x ∈ X íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà M , åñëè

∃ {xn} ∈ M, xn 6= x : xn −−−→ n→∞

x.

Îïðåäåëåíèå 3.7. Ìíîæåñòâî M çàìêíóòî â X, åñëè M ñîäåðæèò âñå ñâîè ïðå- äåëüíûå òî÷êè.

Îïðåäåëåíèå 3.8. Çàìûêàíèåì ìíîæåñòâà M (îáîçíà÷åíèå  M) íàçûâàåòñÿ îáú- åäèíåíèå ìíîæåñòâà M è âñåõ åãî ïðåäåëüíûõ òî÷åê.

Îïðåäåëåíèå 3.9. Ìíîæåñòâî M âñþäó ïëîòíî â X, åñëè M = X.

Îïðåäåëåíèå 3.10. Ïðîñòðàíñòâî X íàçûâàåòñÿ ñåïàðàáåëüíûì, åñëè â íåì ñóùå- ñòâóåò ñ÷åòíîå, âñþäó ïëîòíîå ïîäìíîæåñòâî.

Îïðåäåëåíèå 3.11. Îáëàñòü - ýòî îòêðûòîå ñâÿçíîå ìíîæåñòâî.

Ïóñòü Ω Rm  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü. Òàê êàê Ω  êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî, òî, ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ â Ω ôóíêöèÿ äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñè- ìàëüíîãî è ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ.

×åðåç C(Ω) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ â Ω ôóíêöèé ñ ìàêñèìóì-íîðìîé

‖f‖ = max x∈ Ω̄

| f(x)|.

Î÷åâèäíî, ÷òî àêñèîìû íîðìû âûïîëíÿþòñÿ. Ñõîäèìîñòü ïî íîðìå C(Ω)  ýòî ðàâíîìåðíàÿ ïî x ∈ Ω ñõîäèìîñòü ôóíêöèé.

Äåéñòâèòåëüíî, ‖fn − f‖C(Ω) −−−→

n→∞ 0 max

x∈|fn(x)− f(x)| → 0

Ïðîñòðàíñòâî C(Ω)  áàíàõîâî. Ïîëíîòà C(Ω) äîêàçûâàåòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà C[a, b].

C(Ω)  ñåïàðàáåëüíîå ïðîñòðàíñòâî. Ñ÷åòíîå âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî â íåì îá- ðàçóþò ìíîãî÷ëåíû ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè PQ(Ω). Äåéñòâèòåëüíî, ëþáîé ìíîãî÷ëåí ìîæíî ñêîëü óãîäíî òî÷íî ïðèáëèçèòü ìíîãî÷ëåíàìè ñ ðàöèîíàëüíûìè êî- ýôôèöèåíòàìè. Ïîýòîìó PQ(Ω) âñþäó ïëîòíî âî ìíîæåñòâå âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P (Ω):

PQ(Ω) ⊂→P (Ω)

Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, ëþáóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ ìîæíî ðàâíîìåðíî ïðè- áëèçèòü ìíîãî÷ëåíàìè, ïîýòîìó

P (Ω)⊂→C(Ω).

docsity.com

3.1. Áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà C(Ω), C0(Ω), CK(Ω) 32

Ñëåäóþùèé ïðèìåð áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà  ýòî ïîäïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ â Ω ôóíêöèé, îáðàùàþùèõñÿ â íîëü íà ãðàíèöå îáëàñòè Ω.

C0(Ω) = {f | f ∈ C(Ω), f |∂Ω= 0}.

Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ïîäïðîñòðàíñòâà.

Îïðåäåëåíèå 3.12. Ìíîæåñòâî M ⊂ X íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà X, åñëè

1) M çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî ëèíåéíûõ îïåðàöèé;

2) M çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà.

Çàìêíóòîñòü C0(Ω) â C(Ω) âûòåêàåò èç ñëåäóþùåãî î÷åâèäíîãî óòâåðæäåíèÿ.

Óòâåðæäåíèå 3.1. Äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn ∈ C(Ω), òàêîé ÷òî

fn |∂Ω= 0

è fn → f â C(Ω),

ãäå f  íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

f |∂Ω= 0.

Ïóñòü α = (α1, . . . , αm)

 ìóëüòèèíäåêñ. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ

|α| = m

i=1

αi, D αf =

∂|α|f ∂xα11 ∂x

α2 2 . . . ∂x

αm m

.

Îïðåäåëèì ïðîñòðàíñòâî k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ â Ω ôóíêöèé Ck(Ω). Ýòî ïðîñòðàíñòâî ñîñòîèò èç ìíîæåñòâà íåïðåðûâíûõ â Ω ôóíêöèé f(x), äëÿ êî- òîðûõ ñóùåñòâóþò è íåïðåðûâíû âñå ïðîèçâîäíûå Dαf(x) ïðè |α| 6 k è íîðìà çàäàåòñÿ ïî ïðàâèëó:

‖f‖ = ∑

|α|6k max x∈

| Dαf(x) | .

Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì íîðìû â ïðîñòðàíñòâå C(Ω), ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:

‖f‖Ck(Ω) = ∑

|α|6k ‖Dαf(x)‖C(Ω).

docsity.com

3.2. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà C(Ω), C∞(Ω) 33

Ñõîäèìîñòü fn → f â Ck(Ω) ðàâíîñèëüíà ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèè è âñåõ åå ïðîèçâîäíûõ äî ïîðÿäêà k âêëþ÷èòåëüíî, òàê êàê

‖fn − f‖Ck(Ω) = ∑

|α|6k ‖Dαfn(x)−Dαf(x)‖C(Ω) 0 ïðè n →∞

ðàâíîñèëüíî ‖fn − f‖C(Ω) 0 è ‖Dαfn(x)−Dαf(x)‖C(Ω) 0.

Ïðîñòðàíñòâî Ck(Ω)  áàíàõîâî è ñåïàðàáåëüíîå.

Ïðèìåð 3.1. Ïóñòü Ω = (a, b), k = 1. Â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé C1[a, b] çàäàäèì íîðìó ïî ïðàâèëó:

‖f‖C1[a, b] = ‖f‖C[a, b] + ‖f ′‖C[a, b].

Óòâåðæäåíèå 3.2. Ck(Ω) íå çàìêíóòî â C(Ω).

Äîêàçàòåëüñòâî. Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü Ck(Ω) çàìêíóòî â C(Ω). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn ∈ Ck(Ω) èç òîãî, ÷òî

fn −−−→ n→∞

f â C(Ω)

ñëåäóåò, ÷òî f ∈ Ck(Ω). Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

f(x) = |x1| ∈ C(Ω). Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà åå ìîæíî ðàâíîìåðíî ïðèáëèçèòü ìíîãî÷ëåíàìè, íî îíà íå ïðèíàäëåæèò C1(Ω)  ïðîòèâîðå÷èå.

Èç äîêàçàííîãî óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî Ck(Ω) íå ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì C(Ω).

3.2 Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà C(Ω), C∞(Ω)  ýòîì ïàðàãðàôå ðàññìàòðèâàþòñÿ ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà.

Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ïðèìåð.

Ïðèìåð 3.2. S - ïðîñòðàíñòâî âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé

x = (x1, x2, . . .), y = (y1, y2, . . .)

ñ ìåòðèêîé

ρ(x, y) =

n=1

1

2n | xn − yn |

1+ | xn − yn | . (3.1)

docsity.com

3.2. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà C(Ω), C∞(Ω) 34

Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

x(k) → x â S ðàâíîñèëüíà ïîêîîðäèíàòíîé ñõîäèìîñòè

∀n x(k)n −−−→ k→∞

xn.

Ïðîñòðàíñòâî S ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì, íî â íåì íåëüçÿ ââåñòè íîðìó, ñîãëàñîâàííóþ ñ ìåòðèêîé (3.1). Åñëè áû òàêàÿ íîðìà ñóùåñòâîâàëà, òî âûïîëíÿëîñü áû ðàâåíñòâî:

‖x‖ = ρ(x, 0). Íî òàê êàê

ρ(αx, 0) 6= |α|ρ(x, 0), òî îäíà èç àêñèîì íîðìû íå âûïîëíÿåòñÿ.

Îïðåäåëåíèå 3.13. Äâå íîðìû ‖ ·‖1 è ‖ ·‖2 â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå X ñîãëàñîâàíû, åñëè ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïî êàæäîé èç ýòèõ íîðì, è ñõîäÿùàÿñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëó f ïî îäíîé èç ýòèõ íîðì

‖fn − f‖1 −−−→ n→∞

0,

ñõîäèòñÿ ê òîìó æå ïðåäåëó ïî äðóãîé íîðìå:

‖fn − f‖2 −−−→ n→∞

0.

Îïðåäåëåíèå 3.14. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî X íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííûì, åñëè â íåì çàäàíà ñ÷åòíàÿ ñèñòåìà ñîãëàñîâàííûõ äðóã ñ äðóãîì íîðì ‖ · ‖n, n = 1,∞.

 ëþáîì ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ââåñòè ìåòðèêó ïî ïðàâèëó:

ρ(f, g) =

k=1

1

2k ‖f − g‖k

1 + ‖f − g‖k . (3.2)

Çàìå÷àíèå 3.1. Âìåñòî íîðì â (3.2) ìîæíî çàäàâàòü ïîëóíîðìû. Ïîëóíîðìà îòëè- ÷àåòñÿ îò íîðìû òîëüêî òåì, ÷òî èç ðàâåíñòâà ‖f‖ = 0 íå ñëåäóåò f = 0.

×åðåç C(Ω) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ â îáëàñòè Ω ôóíêöèé. Ïðåäïîëàãà- åòñÿ, ÷òî Ω ìîæåò áûòü è íå îãðàíè÷åííîé îáëàñòüþ. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëü- íîñòü âëîæåííûõ äðóã â äðóãà îãðàíè÷åííûõ è çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ Kn: Kn ⊂ Kn+1 òàêèõ, ÷òî

Ω = ∞∪

n=1 Kn.

Ñåìåéñòâî ïîëóíîðì îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå

‖f‖n = max x∈Kn

|f(x)|.

Òîãäà ìåòðèêà ââîäèòñÿ êàê ðàâåíñòâå (3.2). Î÷åâèäíî, ÷òî ñõîäèìîñòü â C(Ω)  ýòî ðàâíîìåðíàÿ íà êàæäîì êîìïàêòíîì ìíî-

æåñòâå Kn ñõîäèìîñòü.

docsity.com

3.3. Ëèíåéíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî C∞0 (RM) 35

Óòâåðæäåíèå 3.3. Ïðîñòðàíñòâî C(Ω) ïîëíî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fi}∞i=1  ôóíäàìåíòàëüíà, òî åñòü

‖fi − fj‖n −−−−→ i, j→∞

0,∀ n ∈ N.

Òàê êàê ïðîñòðàíñòâî C(Kn)  ïîëíî, òî ñóùåñòâóåò f ∈ C(Kn), òàêàÿ ÷òî

‖fi − f‖n −−−→ i→∞

0.

Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò f ∈ C(Ω), ê êîòîðîé ñõîäèòñÿ fi ïî ìåòðèêå ρ.

Ïðèâåäåì åùå îäèí ïðèìåð ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïóñòü C∞(Ω)  ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ â Ω ôóíêöèé. Îïðåäåëèì ñåìåéñòâî ïîëó- íîðì

‖f‖n = max x∈|α|6n

|Dαf(x)|

Ìåòðèêó ââåäåì ïî ïðàâèëó (3.2).

Óòâåðæäåíèå 3.4. C∞(Ω)  ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.

3.3 Ëèíåéíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî C∞0 (Rm) ×åðåç C∞0 (Rm) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé, ðàâíûõ íóëþ âíå íåêîòîðîãî êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà.

Îïðåäåëåíèå 3.15. Ôèíèòíîé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ íóëþ âñþäó, êðîìå êîì- ïàêòíîãî ìíîæåñòâà.

Îïðåäåëåíèå 3.16. Íîñèòåëåì ôóíêöèè ϕ íàçûâàåòñÿ

supp ϕ def = {x | ϕ(x) 6= 0}.

Òàêèì îáðàçîì, C∞0 (Rm)  ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì.

Îïðåäåëèì ñõîäèìîñòü íà ýòîì ìíîæåñòâå.

Îïðåäåëåíèå 3.17. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

ϕn −−−→ n→∞

ϕ â ïðîñòðàíñòâå C∞0 (Rm),

åñëè:

1) Íîñèòåëè ôóíêöèé ϕn íå óáåãàþò íà áåñêîíå÷íîñòü, òî åñòü ñóùåñòâóåò êîì- ïàêòíîå ìíîæåñòâî K òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ n

supp ϕn ⊂ K;

docsity.com

3.3. Ëèíåéíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî C∞0 (RM) 36

2) Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé ϕn(x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ϕ(x) íà ìíîæåñòâå K, è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîèçâîäíûõ Dαϕn(x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ñîîòâåò- ñòâóþùèì ïðîèçâîäíûì ôóíêöèè ϕ(x):

Dαϕn(x) ⇒ n→∞

Dαϕ(x) ∀α : |α| > 0 ∀x ∈ K.

Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî â C∞0 (Rm) íåëüçÿ ââåñòè ìåòðèêó, ñîãëàñîâàííóþ ñî ñõîäèìî- ñòüþ, îïðåäåëåííîé âûøå. Ïðîñòðàíñòâî C∞0 (Rm) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì òîïîëîãè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì.

Ïðèìåð 3.3. Ïóñòü ϕ ∈ C∞0 (Rm). Äëÿ êàêîãî èç ñïîñîáîâ çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϕn ñõîäèòñÿ â C∞0 ?

1)ϕn(x) = 1

n ϕ(x);

2)ϕn(x) = ϕ(nx);

3)ϕn(x) = ϕ (x

n

) .

Ïåðâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

ϕn(x) = 1

n ϕ(x)

ñõîäèòñÿ ê íóëþ â C∞0 (Rm). Äåéñòâèòåëüíî, íîñèòåëè ϕn(x) ñîâïàäàþò ñ íîñèòåëåì ôóíêöèè ϕ(x). À òàê êàê äëÿ ëþáîãî α ïðîèçâîäíûå Dαϕn(x) ìàæîðèðóþòñÿ ýëåìåí- òàìè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñòðåìÿùåéñÿ ê íóëþ

|Dαϕn(x)| 6 Mα n

,

òî âòîðîå óñëîâèå â îïðåäåëåíèè ñõîäèìîñòè òàêæå âûïîëíÿåòñÿ. Âòîðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

ϕn(x) = ϕ(nx)

íå ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå C∞0 (Rm), òàê êàê äëÿ íåå íå âûïîëíÿåòñÿ âòîðîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè. Ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîÿâëÿåòñÿ ðàñòóùèé ìíîæèòåëü.

Äëÿ òðåòüåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

ϕn(x) = ϕ (x

n

)

íå âûïîëíÿåòñÿ ïåðâîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè. Åñëè x n ∈ K, òî x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó,

êîòîðîå ñ ðîñòîì n ðàñøèðÿåòñÿ.

docsity.com

3.3. Ëèíåéíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî C∞0 (RM) 37

Ïðèìåð 3.4. Ïðèìåðîì ôóíêöèè èç ϕ ∈ C∞0 (Rm) ÿâëÿåòñÿ "øàïî÷êà".

ωh(|x|) =   

Che − h2

h2−|x|2 , | x |< h; 0, | x |> h.

Íîñèòåëåì ôóíêöèè ωh ÿâëÿåòñÿ øàð ðàäèóñà h ñ öåíòðîì â íóëå: supp ωh(|x|) = Sh(0).

Êîíñòàíòà Ch ïîäáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû èíòåãðàë îò ôóíêöèè ωh(|x|) áûë ðàâåí åäè- íèöå: ∫

Rm

ωh(|x|)dx = 1.

 îäíîìåðíîì ñëó÷àå ãðàôèê ôóíêöèè ωh(|x|) âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.

6

- x

y

O h−h 2h−2h

Îïðåäåëåíèå 3.18. Îòîáðàæåíèå F : X → R íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì, åñëè îíî àääèòèâíî è îäíîðîäíî:

1) < F,ϕ1 + ϕ2 >=< F, ϕ1 > + < F, ϕ2 > ∀ϕ1, ϕ2 ∈ X;

2) < F,αϕ >= α < F, ϕ > ∀ϕ ∈ X, ∀α ∈ R.

Ïðèìåð 3.5. Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x) èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó. Ïðèìåðîì ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ è îãðàíè÷åííûõ íà âñåé âåùåñòâåííîé ïðÿ- ìîé ôóíêöèé ϕ ÿâëÿåòñÿ

< F, ϕ >=

R

f(y)ϕ(y)dy.

Ïðèìåð 3.6. Äåëüòà-ôóíêöèÿ, ñîñðåäîòî÷åííàÿ â òî÷êå x ∈ R, îïðåäåëÿåòñÿ êàê ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë, äåéñòâóþùèé ïî ïðàâèëó

< δ, ϕ >= ϕ(x).

íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé.

Îïðåäåëåíèå 3.19. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèîíàëîâ Fn ñëàáî ñõîäèòñÿ ê äåëüòà- ôóíêöèè íà X, åñëè

< Fn, ϕ >→< δ, ϕ > ïðè n →∞ ∀ϕ ∈ X.

docsity.com

3.3. Ëèíåéíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî C∞0 (RM) 38

×åðåç C(R) áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ è îãðàíè÷åííûõ íà âå- ùåñòâåííîé ïðÿìîé ôóíêöèé ñ íîðìîé

‖ϕ‖ = sup x∈R

(x)|.

Óòâåðæäåíèå 3.5. Ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå

ωh(|x− y|) −−→ h→0

δ(x− y)

âûïîëíÿåòñÿ â ñìûñëå ñëàáîé ñõîäèìîñòè íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ è îãðàíè÷åííûõ íà âñåé âåùåñòâåííîé ïðÿìîé ôóíêöèé.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî

< ωh(|x− y|), ϕ >−−→ h→0

< δ(x− y), ϕ > ∀ ϕ ∈ C(R),

òî åñòü < ωh(|x− y|), ϕ >−−→

h→0 ϕ(x).

Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü ∫

R

ωh(|x− y|)ϕ(y) dy − ϕ(x).

Òàê êàê èíòåãðàë îò ôóíêöèè ωh ðàâåí 1, òî ìîæíî âíåñòè ïîä çíàê èíòåãðàëà âòîðîå ñëàãàåìîå. Ó÷èòûâàÿ òàêæå íåîòðèöàòåëüíîñòü è ôèíèòíîñòü ôóíêöèè ωh, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó

∣∣∣∣∣∣

R

ωh(|x− y|)ϕ(y) dy − ϕ(x) ∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣

R

ωh(|x− y|)(ϕ(y)− ϕ(x)) dy ∣∣∣∣∣∣ 6

6 ∫

R

ωh(|x− y|) (y)− ϕ(x)| = ∫

Sh(x)

ωh(|x− y|)(x)− ϕ(y)| dy .

Òàê êàê ϕ ∈ C(R), òî

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 0 < h < δ ∀ y ∈ Sh(x) (x)− ϕ(y)| < ε.

Ñëåäîâàòåëüíî, ∫

Sh(x)

ωh(|x− y|)(x)− ϕ(y)| dy < ε

Sh(x)

ωh(|x− y|) dy = ε. (3.3)

docsity.com

Ãëàâà 4

Íåðàâåíñòâà Ôðèäðèõñà è Ïóàíêàðå

4.1 Íåðàâåíñòâî Ôðèäðèõñà Òåîðåìà 13 (Íåðàâåíñòâî Ôðèäðèõñà). Ïóñòü Ω Rm  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü, u ∈ C1(Ω), u ∈ C(Ω), u |∂Ω= 0 (ïîñëåäíåå óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ î÷åíü âàæíûì!). Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî

u2(x) dx 6 C

|∇u|2 dx , (4.1)

ïðè÷åì êîíñòàíòà C íå çàâèñèò îò u.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì îäíîìåðíûé ñëó÷àé. Ïóñòü m = 1, Ω = (a, b), u ∈ C1(a, b), u ∈ C[a, b], u(a) = 0, u(b) = 0. Òîãäà íåðàâåíñòâî íåðàâåíñòâî Ôðèäðèõñà ïðèíèìàåò âèä

b

a

u2(x) dx 6 C b

a

|u′(x)|2 dx . (4.2)

Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Íüþòîíà-Ëåéáíèöà ïðåäñòàâèì u(x) â âèäå

u(x) =

x

a

u′(s) ds . (4.3)

Âîçâåäåì ðàâåíñòâî (4.3) â êâàäðàò:

u2(x) =

 

x

a

u′(s) ds

 

2

=

 

x

a

1 · u′(s) ds  

2

.

Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî:  

x

a

1 · u′(s) ds  

2

6 x

a

12 dx

x

a

(u′(s))2 ds = (x− a) x

a

(u′(s))2 ds. (4.4)

docsity.com

4.1. Íåðàâåíñòâî Ôðèäðèõñà 40

Ò. ê. ïîä çíàêîì ïîñëåäíåãî èíòåãðàëà íåîòðèöàòåëüíîå âûðàæåíèå, òî èíòåãðàë òîëüêî óâåëè÷èòñÿ, åñëè â êà÷åñòâå âåðõíåãî ïðåäåëà âîçüìåì b.

(x− a) x

a

(u′(s))2 ds 6 (x− a) b

a

(u′(s))2 ds.

Òàêèì îáðàçîì,

u2(x) 6 (x− a) b

a

(u′(s))2 ds . (4.5)

Ïðîèíòåãðèðóåì ðàâåíñòâî (4.5) ïî x îò a äî b: b

a

u2(x) dx 6 (b− a) 2

2

b

a

(u′(x))2 dx , (4.6)

è íåðàâåíñòâî Ôðèäðèõñà äîêàçàíî â îäíîìåðíîì ñëó÷àå.

Çàìå÷àíèå 4.1. Óñëîâèå u(b) = 0 òàê è íå áûëî èñïîëüçîâàíî.

Äîêàçàòåëüñòâî ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé. Ïóñòü m = 2. Òàê êàê Ω R2  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü, òî åå ìîæíî ïîìåñòèòü â

íåêîòîðóþ ïîëîñó: Ω Π, ãäå

Π = {(x, y) : a < x < b, y ∈ R}.

Ïî óñëîâèþ, ôóíêöèÿ u(x, y) ðàâíà íóëþ íà ãðàíèöå îáëàñòè Ω. Ïðîäîëæèì ôóíê- öèþ u(x, y) íóëåì âî âñþ ïîëîñó.

6

- x

y

O

0 0 0

000 0

0

0

a b

Ïðåäñòàâèì u(x, y) ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì y â âèäå èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì âåðõ- íèì ïðåäåëîì

u(x, y) =

x

a

∂u

∂s (s, y) ds ,

Âîçâåäåì ýòî ðàâåíñòâî â êâàäðàò

u2(x, y) =

 

x

a

1 · ∂u ∂s

(s, y) ds

 

2

ïî íåðàâåíñòâó 6

Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî

x

a

12 ds

x

a

( ∂u

∂s (s, y)

)2 ds .

docsity.com

4.2. Íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå 41

Ïîñêîëüêó x

a

12 ds = x− a,

òî çàìåíèâ xa

( ∂u

∂s (s, y)

)2 ds íà áîëüøåå âûðàæåíèå, ïîëó÷èì

x

a

12 ds

x

a

( ∂u

∂s (s, y)

)2 ds 6 (x− a)

b

a

( ∂u

∂s (s, y)

)2 ds.

Ïðîèíòåãðèðóåì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ïî x îò a äî b. b

a

u2(x, y) dx 6 (b− a) 2

2

b

a

( ∂u

∂x

)2 (x, y) dx .

Òåïåðü ïðîèíòåãðèðóåì ïî y îò −∞ äî +. ∫

Π

u2(x, y) dx dy 6 (b− a) 2

2

Π

( ∂u

∂x

)2 (x, y) dx dy .

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî u|Π\Ω = 0, ïîëó÷èì ∫

u2(x, y) dx dy 6 ∫

( ∂u

∂x

)2 (x, y) dx dy 6

6 (b− a) 2

2

(( ∂u

∂x

)2 +

( ∂u

∂y

2)) dx dy =

(b− a)2 2

|∇u|2 dx dy .

Çàìå÷àíèå 4.2. Óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè îáëàñòè Ω ìîæíî îñëàáèòü. Äëÿ äîêàçà- òåëüñòâà äîñòàòî÷íî, ÷òîáû Ω áûëà îãðàíè÷åííîé â íåêîòîðîì íàïðàâëåíèè (íàïðè- ìåð, â R2 òàêèì ñâîéñòâîì îáëàäàåò ïîëîñà, â R3  ñëîé, áåñêîíå÷íûé öèëèíäð).

4.2 Íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå Ïóñòü Ω Rm  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü, u ∈ C1(Ω), u ∈ C(Ω), u |∂Ω= 0. Òîãäà âûïîëíÿ- åòñÿ íåðàâåíñòâî Ôðèäðèõñà

u2(x) dx 6 C

|∇u|2 dx (4.7)

docsity.com

4.2. Íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå 42

Åñëè îòàçàòüñÿ îò óñëîâèÿ u |∂Ω= 0, à îñòàëüíûå ïðåäïîëîæåíèÿ îñòàâèòü íåèç- ìåííûìè, òî áóäåò ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå

u2(x) dx 6 C1 ∫

|∇u|2 dx + C2

 

u(x) dx

 

2

. (4.8)

Ôîðìàëüíî îò íåðàâåíñòâà Ôðèäðèõñà îíî îòëè÷àåòñÿ òåì, ÷òî â ïðàâîé ÷àñòè ïîÿâëÿ- åòñÿ äîïîëíèòåëüíîå ñëàãàåìîå.

Äîêàæåì íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà îáëàñòü Ω ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä Π

Π = {x ∈ Rm | 0 < xi < li, i = 1,m }. (4.9)

Òîãäà êîíñòàíòû â íåðàâåíñòâå ïîëó÷àþòñÿ òî÷íûìè.

6

- x1

xm

O l1

lm

Òåîðåìà 14 (Íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå). Ïóñòü Π Rm  ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïè- ïåä (4.9), u ∈ C1(Π), u ∈ C(Π). Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

Π

u2(x) dx 6 1|Π|

 

Π

u(x) dx

 

2

+ m

2

m

k=1

Π

l2ku 2 xk

dx. (4.10)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ

yi = xi li

, 0 < yi < 1, i = 1,m.

Òîãäà ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä ïåðåéäåò â åäèíè÷íûé êóá Π1.

Π1 = {y ∈ Rm| 0 < yi < 1, i = 1,m }

Òàê êàê dx = |Π| dy, òî ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííûõ íåðàâåíñòâî (4.10) ïåðåéäåò â ñëåäó- þùåå:

|Π|

Π1

u2(y) dy 6 |Π|  

Π1

u(y) dy

 

2

+ |Π|m 2

m

k=1

Π1

u2yk dy .

docsity.com

4.2. Íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå 43

Ïîñëå äåëåíèÿ íà |Π|

Π1

u2(y) dy ≤  

Π1

u(y) dy

 

2

+ m

2

m

k=1

Π1

u2yk dy . (4.11)

Äîêàæåì ýòî íåðàâåíñòâî. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè:

y, y′ ∈ Π1 : y = (y1, . . . , ym), y′ = (y′1, . . . , y′m).

Ïåðåõîä îò y ê y′ ìîæíî îñóùåñòâèòü, äâèãàÿñü ïî ëîìàíîé ñî çâåíüÿìè, ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì îñÿì.

y(1) = (y′1, y2, y3, . . . , ym),

y(2) = (y′1, y ′ 2, y3, . . . , ym),

...

y(m) = (y′1, y ′ 2, y

3, . . . , y

′ m) = y

′.

Ïðèìåíèì ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà:

u(y′)− u(y) = y′1∫

y1

1(τ1, y2, . . . , ym)1 +

y′2∫

y2

2(y ′ 1, τ2, y3, . . . , ym)2 + . . .+

+

y′m

ym

uτm(y ′ 1, . . . , y

′ m−1, τm)dτm .

Âîçâåäåì â êâàäðàò îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà.

u2(y′)2u(y′)u(y) + u2(y) =

 

y′1∫

y1

1(τ1, y2, . . . , ym)1 +

+

y′2∫

y2

2(y ′ 1, τ2, y3, . . . , ym)2 + . . . +

+

y′m

ym

uτm(y ′ 1, . . . , y

′ m−1, τm)dτm

 

2

.

(4.12)

Çàìåòèì, ÷òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

(a1 + . . . + am) 2 6 m(a21 + . . . + a2m). (4.13)

docsity.com

4.2. Íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå 44

Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî (4.13) ê ïðàâîé ÷àñòè (4.12).

u2(y′)2u(y′)u(y) + u2(y) 6 m

 

 

y′1∫

y1

11

 

2

+ . . . +

 

y′m

ym

uτmdτm

 

2  .

Îöåíèì êàæäûé èíòåãðàë ïî íåðàâåíñòâó Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî.

m

 

 

y′1∫

y1

11

 

2

+ . . . +

 

y′m

ym

uτmdτm

 

2  6

6 m

 

y′1∫

y1

u2τ11 + . . . +

y′m

ym

u2τmdτm

  6 m

 

1∫

0

u2τ11 + . . . +

1∫

0

u2τmdτm

  .

Òàêèì îáðàçîì,

u2(y′)2u(y′)u(y) + u2(y) 6 m  

1∫

0

u2τ11 + . . . +

1∫

0

u2τmdτm

  .

Ïðîèíòåãðèðóåì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ïî y ∈ Π, y′ ∈ Π: ∫

Π1

dy

Π1

dy′ ( u2(y′)2u(y′)u(y) + u2(y)) 6

6 m

Π1

dy

Π1

dy′

 

1∫

0

u2τ11 + . . . +

1∫

0

u2τmdτm

  .

Îêîí÷àòåëüíî,

2

Π1

u2(y) dy − 2  

Π1

u(y) dy

 

2

6 m m

k=1

Π1

u2ykdy,

è íåðàâåíñòâî (4.11), à âìåñòå ñ íèì è (4.10), äîêàçàíî.

docsity.com

Ãëàâà 5

Îáîáùåííûå ïðîèçâîäíûå

5.1 Îïðåäåëåíèå îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé Ïóñòü Ω  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rm ñ êóñî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé Ω, ôóíêöèè f è g íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû â îáëàñòè Ω è íåïðåðûâíû âïëîòü äî ãðàíèöû: f, g ∈ C1(Ω) ∩ C(Ω), n  ïîëå âíåøíèõ åäèíè÷íûõ íîðìàëåé ê ãðàíèöå îáëàñòè Ω. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì:

∂f

∂xk g(x) dx =

f(x) ∂g

∂xk dx +

f(x)g(x)nk dS . (5.1)

×åðåç α áóäåì îáîçíà÷àòü ìóëüòèèíäåêñ  âåêòîð ñ öåëî÷èñëåííûìè íåîòðèöà- òåëüíûìè êîîðäèíàòàìè:

α = (α1, α2, . . . , αm), αi > 0.

Ñóììó êîîðäèíàò âåêòîðà α áóäåì íàçûâàòü ìîäóëåì α:

|α| = m

k=1

αk.

×åðåç Dαf îáîçíà÷èì ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè f

Dαf = ∂|α|

∂xα11 ∂x α2 2 . . . ∂x

αm m

.

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî D0f = f . Ïóñòü |α| = k, k > 1, ôóíêöèè f è g k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû â

îáëàñòè Ω è k− 1 ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû âïëîòü äî ãðàíèöû: f, g ∈ Ck(Ω), f, g ∈ Ck−1(Ω). Ïåðåáðîñèâ âñå ïðîèçâîäíûå ñ ôóíêöèè f íà g ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (5.1), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó ðàâåíñòâó

Dαf(x)g(x) dx = (1)|α|

f(x)Dαg(x) dx +

M(f, g) dS . (5.2)

docsity.com

5.1. Îïðåäåëåíèå îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé 46

Çäåñü M  íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ðàâíà íóëþ, åñëè õîòÿ áû îäíà èç ôóíêöèé f èëè g íà ãðàíèöå îáëàñòè Ω ðàâíà íóëþ.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî g ∈ C∞0 (Ω). Òîãäà â (5.2) ãðàíè÷íûé èíòåãðàë ïðîïàäàåò è îñòàåòñÿ ðàâåíñòâî îáúåìíûõ èíòåãðàëîâ:

Dαf(x)g(x) dx = (1)|α|

f(x)Dαg(x) dx. (5.3)

Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëîâ â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (5.3) ðàçëè÷íû. Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûðàæåíèå â ëåâîé ÷àñòè èìåëî ñìûñë, äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ôóíêöèÿ f áûëà k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà. Èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ñóùåñòâóåò ïðè áîëåå ñëàáûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî f .

Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (5.3) äî- ñòàòî÷íî, ÷òîáû ôóíêöèÿ f áûëà ëîêàëüíî èíòåãðèðóåìà â îáëàñòè Ω. Îöåíèì ìîäóëü èíòåãðàëà

∣∣∣∣∣∣

f(x)Dαg(x) dx

∣∣∣∣∣∣ 6

|f(x)||Dαg(x)| dx .

Ò. ê. ôóíêöèÿ g ∈ C∞0 (Ω), òî ôàêòè÷åñêè èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî Ω supp g(x), è ïðîèç- âîäíûå ïîðÿäêà α îãðàíè÷åíû. Îáîçíà÷èì

K = max x∈ supp g(x)

|Dαg(x)|,

òîãäà ∫

|f(x)||Dαg(x)| dx 6 K

|f(x)| dx .

Äëÿ ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ôóíêöèÿ f ∈ L1(Ω): ∫

|f(x)| dx < ∞.

Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî òðåáîâàíèå ìîæíî îñëàáèòü  äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè (5.3) äîñòàòî÷íî ëîêàëüíîé èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè f :

f ∈ L1, loc(Ω).

Çàìåòèì òàêæå, ÷òî â êà÷åñòâå Ω ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íåîãðàíè÷åííóþ îáëàñòü, ò. ê. èíòåãðèðîâàíèå ïðîèñõîäèò íå ïî Ω, à ïî îãðàíè÷åííîìó ìíîæåñòâó, íà êîòîðîì ôóíêöèÿ g îòëè÷íà îò íóëÿ.

Ñêàçàííîå âûøå ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü îáîáùåííóþ ïðîèçâîäíóþ ëîêàëüíî èíòå- ãðèðóåìîé â îáëàñòè Ω ôóíêöèè f . Ïðè ýòîì ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (5.3) ïðèíèìàåòñÿ â êà÷åñòâå îïðåäåëåíèÿ ëåâîé ÷àñòè. Òî÷íåå, îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâå C∞0 (Ω).

docsity.com

5.2. Ñâÿçü ñ îáû÷íîé ïðîèçâîäíîé 47

Îïðåäåëåíèå 5.1. Ôóíêöèÿ (x) ∈ L1, loc(Ω) íàçûâàåòñÿ îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé ïîðÿäêà α â îáëàñòè Ω ôóíêöèè f(x) ∈ L1, loc(Ω) , åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùåå òîæ- äåñòâî:

(x)g(x) dx = (1)|α|

f(x)Dαg(x) dx ∀ g ∈ C∞0 (Ω). (5.4)

5.2 Ñâÿçü ñ îáû÷íîé ïðîèçâîäíîé Âûÿñíèì, êàêîâà ñâÿçü ìåæäó ïîíÿòèÿìè îáû÷íîé ïðîèçâîäíîé è îáîáùåííîé. Îêàçû- âàåòñÿ, ÷òî åñëè ñóùåñòâóåò îáû÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ, òî ñóùåñòâóåò è îáîáùåííàÿ, ñîâïà- äàþùàÿ ñ îáû÷íîé. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ íàïîìíèì îñíîâíóþ ëåììó âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ  ëåììó Äþáóà-Ðåéìîíà.

Òåîðåìà 15 (Îñíîâíàÿ ëåììà âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ). Ïóñòü f(x) ∈ L1, loc(Ω), è äëÿ ëþáîé g ∈ C∞0 (Ω) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

f(x) g(x) dx = 0.

Òîãäà f(x) = 0 ï.â. x ∈ .

Äîêàæåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå

Óòâåðæäåíèå 5.1. Åñëè f(x) èìååò â ëþáîé òî÷êå x ∈ Ω îáû÷íóþ ïðîèçâîäíóþ ïîðÿäêà α, òî äëÿ íåå ñóùåñòâóåò è îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîðÿäêà α, ñîâïàäàþùàÿ êàê ôóíêöèîíàë íà C∞0 (Ω) ñ îáû÷íîé.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ îáû÷íîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà èíòå- ãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì (5.3), à îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó (5.4). Ò. ê. ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ ðàâåíñòâ ñîâïàäàþò, òî ìîæíî ïðèðàâíÿòü èõ ëåâûå ÷àñòè.

(x)g(x) dx =

Dαf(x)g(x) dx.

Ñëåäîâàòåëüíî,

∀ g ∈ C∞0 (Ω) ∫

((x)−Dαf(x))g(x) dx = 0. (5.5)

Ïî ëåììå Äþáóà-Ðåéìîíà îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî

(x)−Dαf(x) ïî÷òè=âñþäó 0.

docsity.com

5.3. Ñâÿçü ñ ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè 48

Ïîíÿòèå îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé øèðå, ÷åì ïîíÿòèå îáû÷íîé ïðîèçâîäíîé, òàê êàê ðàñøèðÿåòñÿ êëàññ ôóíêöèé, êîòîðûå ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü.

Ïðèìåð 5.1. Ïóñòü f(x) = |x1|, x ∈ Rm. Òîãäà f ∈ L1, loc(Rm). Îáû÷íîé ïðîèçâîäíîé ∂f

∂x1 íå ñóùåñòâóåò. Äîêàæåì, ÷òî îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ (x) = sgn(x1). Çäåñü

α = (1, 0, . . . , 0).

Ïî îïðåäåëåíèþ îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé

∀ g ∈ C∞0 (Rm) ∫

Rm

(x)g(x) dx =

Rm

|x1| ∂g ∂x1

dx =

=

x1>0

x1 ∂g

∂x1 dx +

x1<0

x1 ∂g

∂x1 dx =

=

x1>0

1 · g(x) dx −

x1

1 · g(x) dx = ∫

Rm

(x)g(x) dx =

Rm

sgn(x1)g(x) dx.

Òàê êàê

sgn(x1) ∈ L1, loc(Rm), (5.6)

òî

(x) = sgn(x1). (5.7)

5.3 Ñâÿçü ñ ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè Îïðåäåëåíèå 5.2. Îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè f , åñëè

∀ g ∈ C∞0 (Ω) < fα, g >= (1)|α| < f, Dαg > . (5.8)

Ïîíÿòèå îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé óæå ïîíÿòèÿ ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè, òàê êàê, ïî îïðåäåëåíèþ îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé, äèôôåðåíöèðóþòñÿ òîëüêî ëîêàëüíî èíòåãðèðóåìûå ôóíêöèè è òðåáóåòñÿ, ÷òîáû îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ áûëà ëîêàëüíî èíòåãðèðóåìîé.

Ïðèìåð 5.2. Ïóñòü f(x) = sgn(x1). Òîãäà f ∈ L1, loc(Rm). Ñóùåñòâóåò ∂f ∂x1

â ñìûñëå

äèôôåðåíöèðîâàíèÿ îáîáùåííûõ ôóíêöèé. Íî îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé ∂f ∂x1

íå ñóùå- ñòâóåò.

docsity.com

5.3. Ñâÿçü ñ ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè 49

Ïî îïðåäåëåíèþ îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé è ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè, äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g ∈ C∞0 (Rm)

< fα, g >=

Rm

(x)g(x) dx =

Rm

sgn(x1) ∂g

∂x1 dx =

=

x1>0

∂g

∂x1 dx +

x1<0

∂g

∂x1 dx .

Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì è ïîëüçóÿñü ôèíèòíîñòüþ ôóíêöèè g, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó

x1>0

∂g

∂x1 dx +

x1<0

∂g

∂x1 dx =

x1=0

g(x)n−1 dS + ∫

x1=0

g(x)n+1 dS ,

ãäå dS = dx2 . . . dxm, n− è n+  âíåøíèå åäèíè÷íûå íîðìàëè ê ãðàíèöå ïîëóïðîñòðàíñòâ x1 > 0 è x1 < 0 ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà

n−1 = 1, n+1 = 1. Ñëåäîâàòåëüíî,

x1=0

g(x)n−1 dS + ∫

x1=0

g(x)n+1 dS = 2

x1=0

g(x) dx2 . . . dxm. (5.9)

Ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (5.9) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ëèíåéíîãî íåïðå- ðûâíîãî ôóíêöèîíàëà. Ïóñòü S  ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì x1 = 0, δS  δ-ôóíêöèÿ, ñîñðåäîòî÷åííàÿ íà ïîâåðõíîñòè S. Îíà çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì

< δS, g >=

S

g(x) dS.

Òîãäà äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g ∈ C∞0 (Rm) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

< fα, g >= 2

x1=0

g(x) dx2 . . . dxm =< 2δS, g > .

docsity.com

5.3. Ñâÿçü ñ ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè 50

Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâîäíàÿ ∂f ∂x1

ôóíêöèè f(x) = sgn(x1) êàê îáîáùåííîé ôóíêöèè ñóùåñòâóåò è ðàâíà

= δS.

Ïîêàæåì, ÷òî îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé íå ñóùåñòâóåò. Òî åñòü íå ñóùåñòâóåò òàêîé ôóíêöèè fα ∈ L1, loc(Rm), ÷òî ∀ g ∈ C∞0 (Rm) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

Rm

(x)g(x) dx = 2

x1=0

g(x) dx2 . . . dxm (5.10)

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîçüìåì ñíà÷àëà â êà÷åñòâå ôóíêöèè g ∈ C∞0 (Rm) ïðîèçâîëü- íóþ ôóíêöèþ g ∈ C∞0 (x1 > 0). Òîãäà èç (5.10) ñëåäóåò,÷òî

Rm

(x)g(x) dx = 0 ∀g ∈ C∞0 (x1 > 0).

Îòñþäà âûòåêàåò

(x) ïî÷òè =

âñþäó 0 ïðè x1 > 0. (5.11)

Àíàëîãè÷íî, åñëè â êà÷åñòâå ôóíêöèè g ∈ C∞0 (Rm) âçÿòü ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ g ∈ C∞0 (x1 < 0). Òîãäà

Rm

(x)g(x) dx = 0 ∀g ∈ C∞0 (x1 > 0).

Ñëåäîâàòåëüíî,

(x) ïî÷òè =

âñþäó 0 ïðè x1 < 0. (5.12)

Èç (5.11) è (5.12) ñëåäóåò, ÷òî

(x1) ïî÷òè =

âñþäó 0 ∀ x1 Rm. (5.13)

Òîãäà â ðàâåíñòâå (5.10) ñëåâà ïîëó÷àåì íîëü:

0 = 2

x1=0

g(x) dx2 . . . dxm ∀g ∈ C∞0 (Rm).

Íî òàê êàê ñóùåñòâóåò g ∈ C∞0 (Rm), äëÿ êîòîðîé èíòåãðàë â íîëü íå îáðàùàåòñÿ, òî ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ.

docsity.com

Ãëàâà 6

Ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà

6.1 Ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà W kp (Ω) Îáîçíà÷åíèå ïðîñòðàíñòâà W kp (Ω) ëàòèíñêîé áóêâîé W ïðîèçîøëî îò àíãëèéñêîãî ñëîâà week, ÷òî ïåðåâîäèòñÿ íà ðóññêèé ÿçûê êàê ñëàáûé. Ýòî ñâÿçàíî ñ ïðåäïîëîæåíèåì î ñóùåñòâîâàíèè ó ôóíêöèé èç W kp (Ω) îáîáùåííûõ (ò.å. ñëàáûõ) ïðîèçâîäíûõ ïîðÿäêà k.

Îïðåäåëåíèå 6.1. Ïðè k = 0 W kp (Ω) = Lp(Ω).

Îïðåäåëåíèå 6.2. Ïðè k ∈ N W kp (Ω) =

{ f ∈ Lp(Ω) | ∃Dαf ∈ Lp(Ω)  îáîáùåííûå ïðîèçâîäíûå, |α| 6 k,

‖f‖W kp (Ω) =   ∑

|α|6k ‖Dαf‖pLp(Ω)

 

1/p} .

 ÷àñòíîñòè, ïðè p = 2 â ïðîñòðàíñòâå W k2 (Ω) ìîæíî ââåñòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäå- íèå, ñîãëàñîâàííîå ñ íîðìîé äàííîãî ïðîñòðàíñòâà

(f, g)W k2 (Ω) = ∑

|α|6k (Dαf,Dαg)L2(Ω).

Óòâåðæäåíèå 6.1. Ïðè p = 2 W kp (Ω)  ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, î÷åâèäíî, âûïîëíÿþòñÿ. Äîêà- æåì, ÷òî W k2 (Ω)  ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà ðàâíîñèëüíà ñõîäèìî- ñòè êàæäîé ôóíäàìåíòàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â íåì.

Ïóñòü {fn} ∈ W k2 (Ω)  ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: ‖fn − fm‖W k2 (Ω) −−−−−→n, m→∞ 0.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

‖fn − fm‖2W k2 (Ω) = ∫

|α|6k |Dαfn(x)−Dαfm(x)|2 dx −−−−−→

n, m→∞ 0.

docsity.com

6.1. Ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà WKP (Ω) 52

Ñëåäîâàòåëüíî,

∀α : |α| 6 k

|Dαfn(x)−Dαfm(x)|2 dx −−−−−→ n, m→∞

0. (6.1)

Îòñþäà ïðè α = 0 ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå

‖fn − fm‖L2(Ω) −−−−−→ n, m→∞

0,

èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn ôóíäàìåíòàëüíà â L2(Ω). Ò. ê. L2(Ω)  ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî, òî îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî

∃ f ∈ L2(Ω) : ‖fn − fm‖L2(Ω) −−−−−→ n, m→∞

0.

Ïóñòü òåïåðü α  ïðîèçâîëüíûé ìóëüòèèíäåêñ òàêîé, ÷òî |α| 6 k. Ó÷èòûâàÿ (6.1), â ñèëó ïîëíîòû L2 ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî α

∃ fα ∈ L2(Ω) : ‖Dαfn − fα‖L2(Ω) −−−→ n→∞

0.

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîëíîòû ïðîñòðàíñòâà W k2 (Ω) îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî

1) f ∈ W k2 (Ω);

2) = Dαf .

Ò. ê. fn ∈ W k2 (Ω), òî

∀ α : |α| 6 k ∃Dαfn ∈ L2(Ω),

Ïðèìåíèì ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì

∀ g ∈ C∞0 (Dαfn, g)L2(Ω) = (1)|α|(fn, Dαg)L2(Ω). (6.2)

Íàéäåì ïðåäåëû ïðè n →∞ ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (6.2). Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî

∀ g ∈ C∞0 (Ω) (Dαfn, g)L2(Ω) −−−→ n→∞

(fα, g)L2(Ω). (6.3)

Ýòî ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî:

|(Dαfn, g)L2(Ω) (fα, g)L2(Ω)| = |(Dαfn − fαg)L2(Ω)| ïî íåðàâåíñòâó

6 Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî

6 ‖Dαfn − fα‖L2(Ω)‖g‖L2(Ω) Ò. ê. g ôèíèòíà è áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà, òî g ∈ L2. Ò. ê. ‖Dαfn−fα‖L2(Ω) −−−→

n→∞ 0

è ‖g‖L2(Ω) < ∞, òî

‖Dαfn − fα‖L2(Ω)‖g‖L2(Ω) −−−→ n→∞

0.

docsity.com

6.2. Ñëåä ôóíêöèè èç ïðîñòðàíñòâà W 12 (Ω) 53

Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî

(fn, D αg)L2(Ω) −−−→

n→∞ (f, Dαg)L2(Ω). (6.4)

Ñíîâà ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî

|(fn, Dαg)L2(Ω) (f,Dαg)L2(Ω)| ïî ñâîéñòâó

= ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ

= |(fn − f, Dαg)|L2(Ω) ïî íåðàâåíñòâó

6 Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî

‖fn − f‖L2(Ω)‖Dαg‖L2(Ω).

Ò. ê. ‖fn − f‖L2(Ω) −−−→ n→∞

0 è g ôèíèòíà è áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà, òî

‖fn − f‖L2(Ω)‖Dαg‖L2(Ω) −−−→ n→∞

0.

Îêîí÷àòåëüíî, èç (6.3) è (6.4) ñëåäóåò, ÷òî

∀ g ∈ C∞0 (fα, g)L2(Ω) = (1)|α|(f, Dαg)L2(Ω).

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî îïðåäåëåíèþ îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé,

(Dαf, g)L2(Ω) = (1)|α|(f,Dαg)L2(Ω) ∀ g ∈ C∞0 .

Òîãäà (fα, g)L2(Ω) = (D

αf, g)L2(Ω) ∀ g ∈ C∞0 . Ñëåäîâàòåëüíî,

f ∈ W k2 (Ω); = Dαf.

6.2 Ñëåä ôóíêöèè èç ïðîñòðàíñòâà W 12 (Ω) Ïóñòü Ω Rm  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü, S ⊂ Ω  (m − 1)-ìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü. Åñëè ôóíêöèÿ f = f(x) îïðåäåëåíà âñþäó â Ω, òî îíà îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíà è íà ïîâåðõíî- ñòè S. Åñëè æå ôóíêöèÿ f = f(x) îïðåäåëåíà ïî÷òè âñþäó â Ω, òî, âîîáùå ãîâîðÿ, îíà ìîæåò ïðèíèìàòü íà ïîâåðõíîñòè S ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ (òàê êàê mes Ω = 0).

Íî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ìîæíî ãîâîðèòü î çíà÷åíèÿõ íà (m − 1)-ìåðíîé ïîâåðõ- íîñòè ïî÷òè âñþäó îïðåäåëåííîé ôóíêöèè.

Ïðèìåð 6.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà âïëîòü äî ãðàíèöû îáëàñòè Ω: f ∈ C(Ω), â êà÷åñòâå S áåðåòñÿ ãðàíèöà îáëàñòè: S = Ω. Òîãäà, åñëè ôóíêöèÿ çàäàíà ëèøü âíóòðè îáëàñòè, òî åå ìîæíî ïðîäîëæèòü íà S ïî íåïðåðûâíîñòè.

Ïðèìåð 6.2. Ïóñòü f ∈ L2(Ω), S = Ω∩ {xm = const}. Òîãäà, ïî òåîðåìå Ôóáèíè, äëÿ ïî÷òè âñåõ xm ñóùåñòâóåò îïðåäåëåíííîå ïî÷òè âñþäó íà S çíà÷åíèå f |x∈S ôóíêöèè f(x). Ïðè ýòîì f |xm=const∈ L2(S) ïðè ïî÷òè âñåõ xm.

docsity.com

6.2. Ñëåä ôóíêöèè èç ïðîñòðàíñòâà W 12 (Ω) 54

Îêàçûâàåòñÿ, åñëè f ∈ W k2 (Ω) ïðè k > 1, òî ìîæíî ãîâîðèòü î åå çíà÷åíèÿõ íà ïîâåðõíîñòè S ⊂ Ω. Òàê êàê

W 12 (Ω) ⊃ W k2 (Ω), k > 1, (6.5)

òî äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé k = 1. Óïðîùåííî ãîâîðÿ, ñëåäîì ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ ñóæåíèå ôóíêöèè íà ïîâåðõíîñòü,

öåëèêîì ëåæàùóþ â Ω (â ÷àñòíîì ñëó÷àå S = Ω). Äàäèì áîëåå ñòðîãîå îïðåäåëåíèå.

Îïðåäåëåíèå 6.3. Ñëåä ôóíêöèè  ýòî îïåðàòîð γ : W 12 (Ω) → L2(S), äåéñòâóþùèé ïî ïðàâèëó: γf(x) = f(x)|S, ãäå S ⊂ Ω  íåêîòîðàÿ ïîâåðõíîñòü.

Äîêàæåì, ÷òî òàêîé îïåðàòîð ìîæíî îïðåäåëèòü, è îí ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì.

Òåîðåìà 16. Ïóñòü âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ

1) Ω Rm  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü,

2) S ⊂ Ω, S ∈ C1, ∈ C1,

3) f ∈ W 12 (Ω). Òîãäà äëÿ ôóíêöèè f îïðåäåëåí îïåðàòîð ñëåäà γ : W 12 (Ω) → L2(S), äåéñòâóþùèé ïî ïðàâèëó: γf = f |x∈S, è âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà

‖f‖L2(S) 6 C‖f‖W 12 (Ω). (6.6)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü S1 ⊂ S  ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S, êîòîðàÿ îäíîçíà÷íî ïðîåêòè- ðóåòñÿ íà îáëàñòü D ïëîñêîñòè xm = 0 è çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì

xm = ϕ(x1, x2, . . ., xm−1), ϕ ∈ C1(D).

Îáîçíà÷èì = (x1, . . . , xm−1) ∈ D, ãäå D  îáëàñòü èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ. Íàïðèìåð, åñëè m = 3 è S : x21 + x22 + x23 = 1  ñôåðà, òî â êà÷åñòâå S1 ìîãóò

âûñòóïàòü âåðõíÿÿ èëè íèæíÿÿ ïîëóñôåðû

S+ : x3 = √

1− x22 − x21,

S− : x3 =

1− x22 − x21,

à â êà÷åñòâå îáëàñòè D  åäèíè÷íûé êðóã x21 + x22 6 1. 6

-

xm

O

x̃=const

x̃m =const S =

? ?? ?

6 66 6

docsity.com

6.2. Ñëåä ôóíêöèè èç ïðîñòðàíñòâà W 12 (Ω) 55

Ñíà÷àëà äîêàæåì ôîðìóëó (6.6) äëÿ ãëàäêèõ ôóíêöèé. Ïóñòü f íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà â Ω è îáðàùàåòñÿ â íîëü íà ãðàíèöå îáëà-

ñòè: f ∈ C10(Ω). Òàê êàê Ω  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü, òî åå ìîæíî ïîìåñòèòü âíóòðü Ka  ïðÿìî-

óãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ñî ñòîðîíîé a:

Ka = {x ∈ Rm | |xi| ≤ a, i = 1,m .}

⊂ Ka.

Ïðîäîëæèì f(x) íóëåì íà âåñü ïàðàëëåëåïèïåä: f(x) = 0, x ∈ Ka \ Ω. Ïðè ýòîì ñîõðàíÿåòñÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè.

6

-̃x

xm

a

a

ϕ(x̃)

O x̃

0

0 00

0

0

0

0

0

0 0 0

Âûðàçèì ôóíêöèþ f â òî÷êå ïîâåðõíîñòè S1 ÷åðåç ôóíêöèþ ϕ.

f(x) |S1= f(x̃, ϕ(x̃)).

Òî÷êà èìååò (m− 1)-êîîðäèíàòó. Ïðèìåíèì ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà.

f(x̃, ϕ(x̃)) =

ϕ(x̃)∫

0

∂f

∂ξm (x̃, ξm) dξm.

Îöåíèì èíòåãðàë ïî ìîäóëþ

|f(x) |S1| 6 ϕ(x̃)∫

0

∣∣∣∣ ∂f

∂ξm

∣∣∣∣ (x̃, ξm) dξm.

Âîçâåäåì ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî â êâàäðàò è ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Êîøè- Áóíÿêîâñêîãî

|f(x) |S1|2 6  

ϕ(x̃)∫

0

1 · ∣∣∣∣

∂f

∂ξm

∣∣∣∣ (x̃, ξm) dξm

 

2

6

6 ϕ(x̃) ϕ(x̃)∫

0

∣∣∣∣ ∂f

∂ξm

∣∣∣∣ 2

(x̃, ξm) dξm ò. ê. 6

ϕ(x̃)<a a

a

0

∣∣∣∣ ∂f

∂ξm (x̃, ξm)

∣∣∣∣ 2

dξm.

docsity.com

комментарии (0)
Здесь пока нет комментариев
Ваш комментарий может быть первым
Это только предварительный просмотр
3 стр. на 30 стр.
Скачать документ