Шпора по матану шпора по математике скачать бесплатно шпоргалка анализ лагранж теорема вопрос билет экзамен производная, Шпаргалки из Математика. Moscow State University
refbank9569
refbank956911 апреля 2017 г.

Шпора по матану шпора по математике скачать бесплатно шпоргалка анализ лагранж теорема вопрос билет экзамен производная, Шпаргалки из Математика. Moscow State University

DOC (377 KB)
3 страница
45Количество просмотров
Описание
Шпора по матану шпора по математике скачать бесплатно шпоргалка анализ лагранж теорема вопрос билет экзамен производная
20баллов
Количество баллов, необходимое для скачивания
этого документа
Скачать документ
Предварительный просмотр3 страница / 3
Скачать документ

1.Мн-во операций над мн-вами Мн-во – совокупность объектов, обладающих определенным св-вом. Пересечением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов, принадлежащих как мн-ву А, так и мн-ву В.(А={1,2,3}, B={2,5}, AΩB={2}) Объединением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов, принадлежащих хотя бы одному из мн-в А или В.(A={1,2,3}, B={2,5} AuB= {1,2,3,5}Разностью С двух мн-в А и В н-ся мн-во, состоящ. Из Эл-ов мн-ва А и не принадл. В(Разностью мн-ва целых чисел и мн-ва четных чисел явл. Мн-во нечетных чисел) Если А подмн-во В, то разность В\А н-ся дополнением А до В. Дополнением мн-ва А н-ся мн-во, состоящ. Из Эл-ов универсального мн-ва не принадлежащих мн-ву А.

2.Мн-во вещ.чисел, основные св-ва точных граней Наиболее употребительные числовые мн-ва: N-мн-во натуральных чисел Q-мн-во рациональных чисел R-мн-во вещественных чисел C-мн-во комплексных чисел (Cегмент: [a,b]={x|a< x≤b} Полунтервал: (a,b]={x|a< x≤b} [a,b)={x|a≤x<b} [ a,+∞)={x|a≤x<∞} (-∞,a]={x|-∞<x≤a}Интервал: (a,b)={x|a<x< b} (a,+∞)={x|a<x<+∞} (-∞,a)={x|-∞< x<a} R={x|-∞< x<∞}=(-∞,+∞) ). Все эти мн-ва н-ся промежутками a,b –концами промежутков. [a,b],(a,b),[a,b),(a,b] – конечные промежутки, остальные-бесконечные! +можно взять из 3 вопроса

3.Грани числовых мн-в, св-во граней Пусть Х – непустое мн-во веществ. чисел. Мн-во Х назся огран. сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство с F 0 B 3х(х F 0 B 3с). Число с наз-ся верхн. (нижн.) гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-ся ограниченым Если мн-во имеет 1 верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во. Пример X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено. Точные грани числовых мн-в Пусть мн-во Х ограничено сверху, если это мн-во содержит макс число, т.е. наименьшую из своих верхних граней, то это число назся макс мн-ва Х и обозначается Х*=maxX. Если мн-во содержит мин число Х* , то оно min мн-ва Х Пример Х=[0,1) то max[0,1) не F 0 2 4. min [0,1)=0 Число Х* наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если во-первых оно явл. верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном уменьшении Х* получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва. Верхн. грань – supX= x*, а нижн. грань infX=x* Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань. Таким образом у огран. мн-ва обе грани F 0 2 4, док-во основано на непрерывности мн-ва действит. Чисел.

4.Th о сущ. т.в.г. и т.н.г. Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань. Док-во: Пусть Х непустное мн-во, ограниченное сверху. Тогда Y- мн-во чисел, ограничивающих мн-во Х сверху, не пусто. Из определения верхней грани следует, что для любого х€Х и y€Y любого выполняется нер-во х≤у. В силу св-ва непрерывности вещ.чисел существует такое с, что для любых х и у выполняется нер-во х≤с≤у. Из первого нер-ва следует, что число с ограничивает мн-во Х сверху, т.е. является верхней гранью. Из второго нер-ва следует, что число ч явл.наименьшим из таких чисел,т.е. явл точной верхн.гранью. Теорема док-на. Аналогична теорема о т.н.г

5.Числовые последовательности, действия над ними Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1,х2, … ,х n, …(1,2,3,n –внизу) наз- ся числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т х n общим эл-том посл-ти . Над числовыми последовательностями можно выполнять след. Арифметические операции: произведение, сумма, разность, произведением на число, частное.

6.Огранич и неогранич пос-ти Посл-ть {xn} наз-ся огран. сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число {xn} M( m) xn F 0 A 3M F 0 2 2n (xn F 0 B 3m F 0 2 2n) посл-ть наз-ся огранич., если она огранич. сверху и снизу. Посл-ть {xn} наз-ся неогранич., если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn этой посл-ти, удовлетворяющий неравенству F 0 B Dxn F 0 B D>А.

7. Б-м и б-б пос-ти: опр, осн. Св-ва, связь между ними Пос-ть Xn н-ся б-б, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при всех n>N выполняется нер-во |Xn|>A, т.е. ( F 0 2 2A>0)( F 0 2 4N=N(A))( F 0 2 2n>N):| Xn|>A Любая б-б пос-ть явл. неограниченной. Однако неограниченная пос-ть может и не быть б-б. Пос-ть {An} н-ся б-м, если для любого положительного числа ε ( сколь бы малым мы его ни взяли) существует номер N=N(ε) такой, что при всех n> N выполняется нер-во |An|< ε, т.е. ( F 0 2 2ε>0)( F 0 2 4N=N(ε))( F 0 2 2n> N):| An|< ε Св-ва: 1.Если {Xn} б-б пос-ть и все ее члены отличны от нуля, то по-сть {1\Xn} б-м и обратно. 2.Сумма и разность двух б-м пос-тей есть б-м пос-ть. (следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа б-м постей есть б-м пость.) 3.Произведение двух б-м постей есть б-м пость.4. Произведение ограниченной пости на бесконечно малую пость есть пость б-м.

8.Понятие сходящихся постей, lim пости. Опр Если для любого F 0 6 5 > найдется такой номер N, для любого n >N: F 0 B Dxn-a F 0 B D< F 0 6 5 Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися. Опр Число а н-ся пределом пости Xn для любой точки окрестности а, сущ. N=N( F 0 6 5), такой, что все Эл-ты Xn с номерами n>N находятся в этой F 0 6 5-окрестности.

9.Основные св-ва сход. Постей Теорема «Об единственности пределов» Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел. Док-во (от противного) {xn} имеет два разл. Предела a и b, а F 0 B 9b. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса F 0 6 5= (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на. Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена» Пусть посл-ть {xn} F 0 A Eа F 0 6 5 >о N: F 0 2 2n>N F 0 B Dxn-a F 0 B D< F 0 6 5 эквивалентна а- F 0 6 5< xn<a+ F 0 6 5 F 0 2 2n>N => что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенству F 0 B Dxn F 0 B DF 0 A 3 c = max { F 0 B Da- F 0 6 5F 0 B D, F 0 B Da+ F 0 6 5F 0 B D, F 0 B Dxn F 0 B D,…, F 0 B Dxn-1 F 0 B D} Теорема «Об арифметических дейсьвиях» Пусть посл-ть {xn} F 0 A Ea,{yn} F 0 A Eb тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем: а) предел lim(n F 0 A EF 0 A 5)(xn F 0 B 1yn)=a F 0 B 1b б) предел lim(n F 0 A EF 0 A 5)(xn F 0 2 Ayn)=a F 0 2 Ab в) предел lim( n F 0 A EF 0 A 5)(xn/yn)=a/b, b F 0 B 90 Док-во: а)xn F 0 B 1yn=(а+ F 0 6 1n) F 0 B 1(b+ F 0 6 2n)=(a F 0 B 1b)+( F 0 6 1n F 0 B 1F 0 6 2n) Правая часть полученная в разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части xn+yn имеет предел равный a F 0 B 1b. Аналогично др. св-ва. б) xn F 0 2 Ayn=(а+ F 0 6 1n) F 0 2 A(b+ F 0 6 2n)=ab+ F 0 6 1nb+a F 0 6 2n+ F 0 6 1n F 0 6 2n F 0 6 1n F 0 2 Ab – это произведение const на б/м а F 0 2 AF 0 6 2n F 0 A E0, F 0 6 1n F 0 6 2n F 0 A E0, как произведение б/м. => поэтому в правой части стоит сумма числа а F 0 2 Ab+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xn F 0 2 Ayn сводится к a F 0 2 Ab

10. Предельный переход в нер-вах. 11. Монотонные пос-ти Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1<…<xn<xn+1<…; неубывающей, если x1 F 0 A 3x2 F 0 A 3… F 0 A 3xn F 0 A 3xn+1 F 0 A 3…; убывающей, если x1>x2>…>xn>xn+1>…; невозр., если x1 F 0 B 3x2 F 0 B 3… F 0 B 3xn F 0 B 3xn+1 F 0 B 3… Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху.

12. Число е Рассмотрим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^ n (в степени n)(1) . Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е F 0 B B2,7128… Док-ем формулу lim (n->∞)(1+1/n)^ n(в степени n)=е yN=; zN=y N + 1) yN монотонно растет 2) yN<zN 3) zN-y N→0 4) zN монотонно убывает Доказателство: zN-zN+1 = y N + - yN+1 -= +-= 2=y1 <yN<zN<z1 =3 e = Lim yN = Lim zN - по лемме о вложенных промежутках имеем: yN <e<zN = yN + 1/(n*n!) Если через θΝ обозначить отношение разности e - y N к числу 1/(n*n!), то можно записать e - y N = θΝ/(n*n!), заменяя yN его развернутым выражением получаем e = yN + θΝ/(n*n!), θ∈(0,1) Число e иррационально: Доказательство(от противного): Пусть e=m/n, m∈Z, n∈N m/n = e = yN + θΝ /(n*n!) m*(n-1)!= yN*n! + θΝ/n, где (m*(n-1)! & yN *n!)∈Z, (θΝ/n)∉Z => противоречие

13. Th о вложенных промежутках Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков [a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn],… Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.: 1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. [an+1,bn+1] F 0 C C[ an,bn], F 0 2 2n=1,2,…; 2) Длины отрезков F 0 A E0 с ростом n, т.е. lim (n F 0 A EF 0 A 5)(bn-an)=0. Посл-ть с указанными св-вами наз-ют вложенными. Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются.

14.Понятие ф-ии, способы задания, классификация 15.Предел ф-ии в точке(Гейне,Коши,правый,левый) Предел ф-ии на бесконечности 16. Th о пределе ф-ии 17. Первый замечательный предел

Доказательство: докажем для справедливость неравенства В силу четности входящих в неравенство ф-ий, докажем это неравенство на промежутке Из рисунка видно, что площадь кругового сектора

, так как х>0, то , 2. следовательно, что

1. Покажем, что

2. Докажем, что

3. Последнее утверждение:

18. Второй замечательный предел lim(n F 0 A EF 0 A 5)(1+1/n)^n=e Док-во: x F 0 A E+ F 0 A 5 n x:n=[x] => n F 0 A 3x<n+1 => 1/(n+1)<1/x<1/n Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n F 0 A 3(1+1/ n)^x F 0 A 3 (1+1/n)^(n+1) (4) Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х F 0 A E+ F 0 A 5, n F 0 A EF 0 A 5) lim(n F 0 A EF 0 A 5)(1+1/(n+1))=lim(n F 0 A EF 0 A 5)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n F 0 A EF 0 A 5)(1+1/(n+1))^n+1 F 0 2 Alim(n F 0 A EF 0 A 5)1/(1+1/(n+1))=e lim(n F 0 A EF 0 A 5)(1+1/n)^n+1= lim(n F 0 A EF 0 A 5)(1+1/n)^n F 0 2 A lim(n F 0 A EF 0 A 5)(1+1/n)=e F 0 2 A1=e 19.Б-м ф-ии, действия над ними Опр. Ф-ция F 0 6 1(х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций: а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции. б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если F 0 6 1(х) F 0 A E0 при х F 0 A Eх0, а f( x) определена и ограничена ( F 0 2 4 С: F 0 B DF 0 6 A (х) F 0 B DF 0 A 3С)=> F 0 6 A(х) F 0 6 1(х) F 0 A E0 при х F 0 A Eх0 Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие: 1) Если отношение 2-х б/м F 0 6 1(х)/ F 0 6 2(х) F 0 A E0 при х F 0 A Eх0 то говорят что б/м F 0 6 1 имеет более высокий порядок малости чем F 0 6 2. 2) Если F 0 6 1(х)/ F 0 6 2(х) F 0 A EA F 0 B 90 при х F 0 A Eх0 ( A-число), то F 0 6 1(х) и F 0 6 2(х) наз-ся б/м одного порядка. 3) если F 0 6 1(х)/ F 0 6 2(х) F 0 A E1 , то F 0 6 1(х) и F 0 6 2(х) наз-ся эквивалентными б/м ( F 0 6 1(х)~ F 0 6 2(х)), при х F 0 A Eх0. 4) Если F 0 6 1(х)/ F 0 6 2^n(х) F 0 A EА F 0 B 90, то F 0 6 1(х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно F 0 6 2(х). Аналогичные определения для случаев: х F 0 A Eх0-, х F 0 A Eх0+, х F 0 A E- F 0 A 5, х F 0 A E+ F 0 A 5 и х F 0 A EF 0 A 5.

20. Б-б ф-ии, связь с б-м Опр. Ф-ия y= f(x) называется бесконечно большой в точке а, если ее предел в этой точке равен бесконечности. (f(x)-б-б)=lim( x->a)(f (x))=∞

Свойства :Пусть y=f (x) и y=g(x) - бесконечно большие ф-ии в точке а.

Ф-ия F 0 6 A(х) имеет предел в точке а, отличный от 0

Ф-ия F 0 6 1(х) и F 0 6 2(ч) – бесконечно малые

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Произведение двух бесконечно больших ф-ий – бесконечно большая ф-ия.

2. Произведение бесконечно больших на ф-ию, имеющую отличный от нуля предел - бесконечно большая. 3. Ф-ия, обратная величине бесконечно большой – есть бесконечно малая, и наоборот.

21.Сравнение б-м ф-ии, сравнение б-б ф-ии 22.Определение непрерывности в точке, на отрезке. Опр1.Ф-ия у=f (x) н-ся непрерывной в т.Х0, если lim(x->x0)(f (x))=f( x0) Опр2.Ф-ия f (x) н-ся непрерывной в т Х0, если для любой пос-ти значений аргумента Х: х1,х2,х3….,хn,…. Сходящейся к Х0 соответствующая пос- ть значений ф-ии: f (x1), f (x2),f (x3),....,f (xn),... сходится к числу f (x0), т.е. ( F 0 2 2{xn}->x0, xn€X):{f( xn)}->f(x0) Опр3. Ф-ия f (x) н-ся непрерывной в т. Х0, если для любого ε>0 найдется отвечающее ему положительное число δ такое что для всех х, удовлетворяющих условию |x- x0|< δ выполняется нер-во |f(x)-f( x0)|< ε Опр4. Ф-ия f (x) н-ся непрерывной в точке х0, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при ▲x->0, т.е. lim (▲x->0) ( ▲y)=0

23.Th о сумме, разн, пр, частн непрер ф-ии Th Пусть ф-ии f(x) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда ф-ии f(x)±g(x), f(x) g(x),f (x)\ g(x) также непрерывны в этой точке(для частно g(x0)≠0) Докво.Т.к. ф-ия f( x) непрерывна в точке х0, то lim (x->x0)(g( x))=g(x0). Тогда по теореме о пределах ф-ии пределы ф-ии f (x)+g(x),f (x)g( x) b f( x)\g(x) существуют и соответственно равны f(x0)±g(x0), f(x0) g(x0),f (x0)\g( x0)(g(x0)≠0).Но эти величины равны соответствующим значениям ф-ии в точке х0.Следовательно, согласно определению ф-ии f (x)±g( x),f (x)g( x),f( x)\g(x) непрерывны в точке х0

24.Точки разрыва ф-ии: (не) устранимый разрыв,1,2 рода Точки, в которых ф-ия не является непрерывной, называются точками разрыва ф-ии. Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го , и 2-го рода. а) если в т-ке х0 F 0 2 4 оба односторонних предела, которые совпадают между собой f (x0+)= f( x0-), но F 0 B 9 f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва. Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф- цию положив для нее знач. f(x0)= f( x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f. б) если в т-ке х0 F 0 2 4 оба 1-стороних предела f (x0 F 0 B 1), которые не равны между собой f (x0+) F 0 B 9f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода. в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не F 0 2 4 или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.

25.Th об устойчивости знака непрерывной ф-ии 26.1 Th Больцано-Коши (th о прохождении ф-ии через нулевое значение при смене знаков) Если f( x) непр. на отрезке (a,b) и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f (a) f (b), то F 0 2 4 т-ка с F 0 C E( a,b),в которой ф-ия обращается в0. Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом деления отрезка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана. Пусть f( d) F 0 B 90 [a,d] или [d,b] ф-ция f принимает значение разных знаков. Пусть для определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1]. Разделим этот отрезок на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку d или перейдем к новому отрезку [a2,d2] продолжая этот процесс мы получим посл-ть вложения отрезков [a1,b1]>[a2,b2] длинна которых (a- b)/2 n̂ F 0 A E0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с:f (c)=0. Действительно если допустить, что f (c) F 0 B 90 то по св-ву сохр. знаков в некоторой F 0 6 4 окрестности, т-ке с f имеет тот же знак что и значение f (c) между тем отрезки [an,bn] с достаточно N попабают в эту окрестность и по построению f имеет разный знак на концах этих отрезков.

27.2 Th Больцано-Коши(Th о прохождении непрерывной ф-ии через любое промежуточное значение) 28.1 Th Вейерштрасса(Th об ограниченности непрерывной на сегменте ф-ии) Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда f (x) огран. на этом отрезке, т.е. F 0 2 4 с>0: F 0 B Df(x) F 0 B DF 0 A 3c F 0 2 2x F 0 C E( a,b). Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от противного; f неогр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки [ a;c][c;b] f (x) неогр. Обозн. [a1,b1] и педелим отрез. [ a2,b2], где f -неогр. Продолжая процедуру деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an; bn] котор. оттяг. к т- ке d ( d=c с надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех отр. Тогда с одной стороны f (x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [ an,bn], но с др. стороны f непр. на [ a,b] и => в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно огран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр- ти т-ки d нах-ся все отрезки [an;bn] с достаточно большим 0. Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки

29. 2 Th Вейерштрасса(Th о достижении непрерывной на отрезке ф-ии своих точных граней) Если f( x) непр. на [a,b], тогда она достигает своего экстр. на этом отрезке, т.е. F 0 2 4 т-ка max X*:f(x*) F 0 B 3f(x) F 0 2 2x F 0 C E[a,b], т-ка min X_:f(x_) F 0 A 3f(x) F 0 2 2x F 0 C E[a,b]. Док-во.Обозначим E(f ) – множиством значений ф-ии f (x) на отр. [ a,b] по предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани supE (f)=supf(x)=(при х F 0 C E[a,b])=M(< F 0 A 5). InfE(f)= inff(x)=m(m>- F 0 A 5). Для опр. докажем [a,b] f(x) достигает макс. на [ a,b], т.е. F 0 2 4 х*:f (x)=M. Допустим противное, такой т-ки не F 0 2 4 и сл-но f( x)<M F 0 2 2x F 0 C E[ a,b] рассмотрим вспомогат. ф-цию g(x)=1/(M-f( x) при х F 0 C E[ a,b]. g(x) – непр. как отношение 2-х непр. ф-ций и то знач. 0 согластно т-ме 1 g(x)- огран. т.е. F 0 2 4 c>0 !0<g( x) F 0 A 3c g F 0 B 30, на [ a,b] – 1/(M-f( x)) F 0 A 3c => 1 F 0 A 3c(M-f (x)) => f (x) F 0 A 3M-1/ c F 0 2 2x F 0 C E[a,b] Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b] а в правой части стоит “C” Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки

30.Th о непрерывности сложной ф-ии 31.Th о непрерывности обратной ф-ии(без док-ва, примеры) Пусть ф-ия y=f (x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке Х и пусть У-множество ее значений. Тогда на множестве У обратная ф-ии x=φ (y) одназначна, строго монотонна и непрерывна.

32.Понятие производной Пусть функция y=f (x) определена в некоторой окрестности точки x0. Пусть ▲x – приращение аргумента в точке x0, а ▲y= f(x0+▲x)-f (x0)– соответствующее приращение функции. Составим отношение ▲y/(поделить)▲x этих приращений и рассмотрим его предел при▲x->0. Если указанный предел существует, то он называется производной функции f в точке x0 и обозначается , или , то есть

. Операция вычисления производной называется дифференцированием, а функция, имеющая производную в точке, – дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала (a,b), то она называется дифференцируемой на этом интервале.

33.Геометрический смысл производной

а) Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y=f( x), дифференцируемой в точке x0 (рис. 13). Проведем через точки M0( x0,y0) и M(x0+▲x, y0+▲y) графика прямую l, и пусть B(угол Бэтта) - угол ее наклона к оси х. Тогда (1)▲y/(деленный)▲x=tg B(бэтта)

Рис. 13. Если ▲x стремится к нулю, то ▲y также стремится к нулю, и точка M приближается к точке M0, а прямая l - к касательной l0(эль нулевая), образующей с осью x угол α( альфа). При этом равенство (1) принимает вид: (2) f ’(x0)=tgα’ откуда следует, что производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

34.Понятие дифференцируемости ф-ии Df : Ф-ия дифференцируема в точке х0 , если приращение ф-ии в точке сможет быть представлено в виде: , А – const . Dh: Для дифференцирования ф-ии в т. х0 , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная. Доказательство: (необходимость)

(достаточность):

35.Непрерывность и диф. 36.Понятие дифференциала ф-ии. Геом.смысл приблеженных вычислений с помощью dy Опр. Дифференциалом ф-ии y=f( x) в точке х0 н-ся главная, линейная от-но ▲х, часть приращенная ф-ии в этой точке. Для обозначения дифференциала ф-ии используют символ dy. Из Df дифференцируемости следует, что приращение дифф. ф-ии можно представить в виде Из равенства нулю предела следует, что - б.м. более высшего порядка малости, чем , и Поскольку - б.м. одного порядка малости. - б.м. одного порядка малости - б.м. эквивылентные, т.е. Пусть

**************

Zm1: и х – независимые переменные, т.е. Zm1: для независимых переменных.

37.Правила диференц суммы,разн,произв,частн

1) ; 2) , где - постоянная; 3) ; 4) ; 5) если , а , то производная сложной функции находится по формуле

, где индексы указывают, по какому аргументу производится дифференцирование.

38.Вычислен производных элемент.ф-ий: x^ n,nЄN,cos,sin,tg ,ctg, loga (основание)Х(а>0,a≠1, x>0) 39.Th о произв сложной ф-ии Пусть:

1. - дифф. в точке y0 . 2. - дифф. в точке х0 .

3. тогда сложная ф-ия - дифф. в точке х0 и справедлива формула:

Доказательство: 1. - дифф. в точке y0 2. - дифф. в точке х0

3. - дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке.

40.Производная ф-ий x^α , αЄR(прием логарифм. Диф) 41.Th о производной обратной ф-ии Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в точке y0, то g’(y0 )=1/f’(x0), где y0 =f(x0) Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1 g’(f(x0 ))=g’(f(x0 ))*f’(x0)=1, g’(f(x0 ))=g(y0)=1/f’(x0 ) Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (α,β ) в (а,b) тогда ∃ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно отображает (а,b) в (α,β). Если f диф-ма в точке x0∈ (α,β ) и f’(x 0)≠ 0, то g диф-ма в точке y0 =f(x0 ) и g’(y0 )=1/f’(x0) Доказательство: Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0: yN→y0, yN≠y0 => ∃ посл-ть xN : xN=g(yN ), f(xN)=yN g(yN)-g(y0 )/yN-y O = xN-x O/f(yN)-f(yO) = 1/f(y N)-f(yO)/x N-xO → 1/f’(xo) при n→∞, получили при xN→xO g(yN )-g(yO)/yN-y O→1/f’(x O) => g’(уO)=1/ f’(xO)

42.Произв ф-ии: arcsinx,arccosx,arctgx,acctgx,a^x(a>0,a≠1) 1) x→Αrcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к. Αrcsin: [-1,1]→ [-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]→ [0,1], то Cos y≥0 и, значит Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2y) 1/2 = 1/(1-x2) 1/2 2) x→Arccos’x = -1/(1-x2) 1/2 3) x→Arctg’x = 1/1+x2 4) x→Arcctg’x= -1/1+x2 5) y=a^x(в степени х) y ‘ =a^xlna Док- во:y=a^x является обратной для ф -ии x=loga(a-основание)y. Т.к. x’(y)=(1/y)loga(a-осн)e, то из соотношения loga(a-OCH)b=1/logb(b-OCH)a получим y’(x)=1/x’(y)=y/loga(a-OCH)e=a^x(в степени х)lna

43.Производная высших порядков Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO, то ф-ция f’(x):x→ f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй производной (или производной порядка 2) ф- ции f в точке xO и обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее. Для единообразия обозначаем через fN (xO) - производную порядка n функции f в точке xO и при n=0 считаем f0(x O)=f(xO). Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO (следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x→fN-1(x) непрерывна в точке xO, а при n≥ 2 все производные порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO. Пусть функции у=f(х) и х= g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’( t) то cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t). Пусть функции у=f(х) и х= g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’( t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t) +нужно док-во

44.Диференциалы высших порядков dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е. d^2y= f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^( n-1)y) от диф. d^( n-1)y наз-ся диф. n-ного порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny. Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dn y)По определению dny= d(dn -1y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, dny=f(n)(х) dxn , в предположении, что n-ая производная f(n )(х) сущ-ет. +нужно док-во

45.Возрастание и убывание ф-ии в точке. Достаточное условие возрастан и убыван ф-ии в точке 46.Понятие локального экстремума, необходимое условие локального экстремума Опр-ие: Функция у=f(х) имеет в точке x0локальный максимум, если сущ-ет окрестность (х0- F 0 6 4, х0+ F 0 6 4), для всех точек х которой выполняется неравенство f(х) F 0 A 3f(х0). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно равенство f(х) F 0 B 3f(х ). Теорема Ферма: Если функция у=f(х) имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f'(х0 ) равна нулю. Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х0 . Пусть (х0 - F 0 6 4, х0 + F 0 6 4) - та окрестность, для точек которой выполняется неравенство Здесь возможно как 1 и 2 варианты, но | ∆х| <δ При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому При ∆х<0, будет ∆y:∆x ≥0, поэтому По условию теоремы, существует производная f'(х0 )А это означает, что правая производная fпр'(х0) и левая производная f л'(х0) равны между собой: fпр'(х0 )= fл'(х0)= f'(х0). Таким образом, с одной стороны, f'(х0)≤0, с другой стороны, f'(х0)≥0, что возможно лишь, когда f'(х0 )=0.

47.Th Роля Пусть ф-ция f( x) удовл. сл. усл. А)Непрерывна на [a,b] Б) Дифференц. на (a,b) В) принимает на коцах отрезков равные значения f (a)=f (b), тогда на (a,b) F 0 2 4 т-ка такая что f‘(c)=0, т.е. с-крит. т-ка. Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, f (x) постоянная на [a,b] (f(a)=f( b)), тогда f ‘(x)=0 F 0 2 4 x F 0 C E ( a,b), любую т-ку можно взять в кач-ве с. Пусть f F 0 B 9 const на [a,b], т.к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min . Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. – max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. с F 0 C E( a,b) (в противном случае f=const ), то по т-ме Ферма, тогда f ‘(c)=0, что и требовалось д-ть.

48.Th Логранжа (формула конечн.приращен) Пусть ф-ция f( x) непрер. на отрезке [a,b] и диф. на интервале (a,b), тогда F 0 2 2 т. х и x+ F 0 4 4x F 0 C E [a,b] F 0 2 4 т-ка С лежащая между х и х+ F 0 4 4х такая что спаведлива ф-ла (f( x+ F 0 4 4x)-f( x))=f(c) F 0 2 AF 0 4 4x (7) => при сравнении с ф-лой приращения ф-ций с диф. заметим, что (7) явл. точной ф-лой, однако теперь пр-ная фолжна считаться в некоторой средней т-ке С «алгоритм» выбора которой неизвестен. Крайнее значение (a,b) не запрещены. Придадим ф-ле (7) классический вид => x=a x+ F 0 4 4x= b+> тогда ф-ла (7)=(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа. (f( b)-f (a))/(b-a)=f‘(c) (1) Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф -цию g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a) F 0 2 A (x-a) Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [ a,b] А)Непрерывна на [a,b] Б) Дифференц. на (a,b) В) g(a)=g( b)=0 Все усл. Ролля соблюдены, поэтому F 0 2 4 т-ка С на (a,b) g‘(c)=0 g‘(c)=f ‘(x)-(f (b)-f( a))/(b- a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных приращений.

49.Th Коши(обобщенная формула конечн.приращен) Теорема Коши: Пусть функции у=f (х) и у=g(х) неперырвны на отрезке [ a,b],дифференцируемы хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на этом промежутке g'(х) не обращается в нуль. Тогда существует такая точка c F 0 C E (a,b), что выполняется равенство (1) Докозательство: Вначале отметим, что знаменатель g(b)-g(a) ≠ 0 ,т.к. из равенства g(b)=g( a) следовало бы по теореме Ролля, что производная g'(х) обратилась бы в нуль в какой-нибудь точке промежутка (a,b), что противоречит условию g'(х)≠0. Образуем вспомогательную функцию: К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в (a,b) как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих промежутках, кроме того, как легко проверить непосредственно, F( a)=F( b)=0. Следовательно, существует точка c F 0 C E (a,b), , такая, что F'(c)=0. Вычисляем:

Подставляем x=c:

После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше g'(х) F 0 B 90), мы приходим к формуле (1)

50.Усл. монотонности ф-ии по интервалам(монотонной,строгомонот ф-ии) 51.Правило Лопиталя (без док-ва,примеры) Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x F 0 A Ea) f( x)= lim( x F 0 A Ea)g( x), то lim(x F 0 A Ea) f(x)/ g(x)= lim(x F 0 A Ea) f‘(x)/g‘(x), когда предел F 0 2 4 конечный или бесконечный. Раскрытие F 0 A 5/ F 0 A 5. Второе правило. Если lim(x F 0 A Ea)f(x)= lim(x F 0 A Ea)g(x)= F 0 A 5, то lim(x F 0 A Ea)f(x)/g(x)= lim(x F 0 A Ea)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x F 0 A EF 0 A 5,x F 0 A E- F 0 A 5,x F 0 A E+ F 0 A 5,x F 0 A Ea-, x F 0 A Ea+. Неопред-ти вида 0 F 0 A 5, F 0 A 5- F 0 A 5, 0^0, 1^ F 0 A 5, F 0 A 5^0. Неопр. 0 F 0 A 5, F 0 A 5- F 0 A 5 сводятся к 0/0 и F 0 A 5/ F 0 A 5 путем алгебраических преобразований. А неопр.0^0, 1^ F 0 A 5, F 0 A 5^ с помощью тождества f (x)^g( x)=e^g (x) lnf(x) сводятся к неопр вида 0 52.Стационарные точки (достаточн.усл.экстремума) 53.Экстремум ф-ии, недиф. В данной точке. Th пусть ф-ия f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с за исключением,может быть,самой точки с.Тогда, если в пределах указанной окрестности f ’(x)>0 слева от точки с и f’(x)<0 справа от точки с,то функция f (x) имеет в точке с локальный максимум.Если f ’(x)<0 слева от точки с и f’(x)>0 справа от точки с, то ф-ия имеет в точке с локальный минимум. Если ф-ия имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в точке с нет. (док-во такое же как в вопросе «Стационарные точки, первое достаточное условие локального экстремума)

54.Два достаточных условия экстремума. 55.Направление выпуклости ф-ии (опр,признаки) Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку ф-ции в любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции. y=y0+f ‘(x0)(x-x0)=f( x0)+f ‘(x0)(x-x0) – линейная ф-ция х, который не превосходит f (x) и не меньше f( x) в случае вогнутости неравенства хар-щие выпуклость (вогнутость) через диф. f(x) F 0 B 3f( x0)+ f ‘(x0)(x-x0) F 0 2 2 x,x0 F 0 C E( a; b) f вогнута на (а, b). Хорда выше (ниже), чем график для вып. ф-ций (вогн.) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и вогнутой.

56.Точки перегиба графика ф-ии(опр,признаки) Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная меняет знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет локальный экстремум. Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет т-ки графика по разные стороны.

57.Достаточное усл. Точек перегиба 58.Ассимптоты графика: вертика, гор, накл. Геом смысл накл ассимптоты. В некоторых случаях, когда график ф-ии имеет бесконечные ветви, оказывается, что при удалении точки вдоль ветви к бесконечности, она неограниченно стремится к некоторой прямой. Такие прямые называют асимптотами. .Вертикальные асимптоты – прямая называется вертикальной асимптотой графика ф-ии в точке b , если хотя бы один из разносторонних пределов равен бесконечности. Если ф-ия задана дробно-рациональным выражением, то вертикальная асимптота появляется в тех точках, когда знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю. ******************** Наклонная асимптота – прямая наклонная асимптота ф-ии , если эта ф-ия представлена в виде Необходимый и достаточный признак существования наклонной асимптоты: Для существования наклонной асимптоты к графику ф-ии необходимо и достаточно существование конечных пределов: Доказательство: Пусть:

Пусть:

Следовательно существует асимптота.

комментарии (0)
Здесь пока нет комментариев
Ваш комментарий может быть первым
Скачать документ